数学归纳法的含义及案例研究

?施响勇

[摘  要] 高中数学教师在教材、知识以及学生等教学诸多因素上的研究越是深入，教学活动越是能够获得更好的效果. 本文着眼于数学归纳法与实际案例的研究，着重阐述了教学活动的科学设计与引领.

[关键词] 高中数学;数学归纳法;教学设计

追求数学教学效果的前提条件是教师对教材内容的深刻理解与到位，但相当一部分的教师在实际教学中对数学本身的理解就存在一定的偏差，以此为依据所制定的教学设计自然也会有所偏离，本文结合数学归纳法的实际教学设计案例在数学归纳法的应用实践上表达了笔者的一点体会.

数学归纳法的含义

准确而科学的教学设计来源于教师对教学内容的深刻理解，一堂精彩的数学课又往往得益于精彩而准确的教学设计，高中数学教师在数学归纳法的渗透教学中首先应该明确数学归纳法的含义并因此创造性地进行设计与教学，要看清数学归纳法在数学知识学习与数学问题解决过程中应用的价值.

例如，在证明和正整数有关的命题时常用的方法中包含数学归纳法这一尤其有意义的重要手段. 一般来讲，使用数学归纳法进行与正整数有关的命题p（n）成立与否时需要证明以下内容：

①p（n0）（n0∈N*）成立;

②若p（k）（k≥n0，k∈N*）成立，则p（k+1）也成立.

因此，p（n）对于一切正整数n（n≥n0）都成立.

包含最终的结论，数学归纳法证明过程的三个步骤一目了然. 不过，一般运用数学归纳法进行证明时，因为最终结论的千篇一律，我们往往更加注重前面两个步骤.

那么，证明命题p（n）对于一切正整数n（n≥n0）都成立为什么需要两步？

事实上，p（n）对于n=n0成立已经可以证明最终的结论，但第二步中“p（k）（k≥n0，k∈N*）成立，则p（k+1）也成立”这一真命题的使用可以得出p（n0+1）是成立的，p（n0+2）也是成立的……由此，命题p（n）对于一切正整数n（n≥n0）也都成立了.

由此可见，数学归纳法中体现“递推基础”的第一步与证明“递推依据”的第二步是缺一不可的，证明第一步的内容可以进行无限制的递推则使命题最终从有限走向了无限.

第二步中的k代表了什么含义？“数学”“归纳”又能从何处体现？

第二步中的k对于n而言是一个事先给定的正整数，这一常量是有限的. 我们可以就n0，n0+1，n0+2（n0∈N*）等具体的正整数来验证p（n）成立，但对于p（n）对于一切正整数n（n≥n0）都成立这一问题却是无法解决的. 但如果对n取某个具体的k，命题能够成立，n=k+1时命题也成立，那么，递推的依据也就形成了，对这一递推依据进行反复使用，使得n从有限走向无限并将“归纳”这两个字的特点展现无余. 数学归纳法中的“数学”这两个字又应该引导学生从什么地方去体会呢？第二步的证明过程中体现的其实是演绎推理的方法，数学推理包含演绎推理这一尤其主要的特征. 由此可见，“数学归纳法”的称谓是极其合适的.

实际教学设计与思考

教学设计的方向因为对数学归纳法的了解而更具方向性，作为教学内容载体的教材為教学内容的呈现提供了很好的形式，学生的“学”与教师的“教”都是围绕教材而展开的活动，只有对教学内容与教材进行深入的数学研究与理解，教师设计的教学过程才会更具科学性与合理性.

1. 目标设置

教学活动必须围绕明确的教学目标而开展，对于数学归纳法这部分内容，围绕本课内容，我们应该引导学生明确如下学习目标：

①利用数学归纳法进行本课命题的证明需要做到哪些步骤？

②为什么需要做到这些步骤？

两个教学目标的确立与达成能使学生在领会这一方法的实质基础之上奠定今后具体运用的基础.

2. 领引学生感受学习的必要性

3. 多米诺骨牌的模型类比

数学归纳法的理解可以借助多米诺骨牌这一模型来进行. 如果把第一块、第二块、第三块……第k块骨牌分别用a1，a2，a3，…，ak来表示，a1，a2，a3，…，ak如果能一一倒下则表示它们是正确的，通项公式对一切正整数成立就如同所有多米诺骨牌都能倒下一样，那么，保证所有多米诺骨牌都能倒下我们又应该做到哪些呢？

对多米诺骨牌倒下的过程进行仔细观察可以寻得两个必要的条件：

①第一块骨牌a1首先倒下;

②a1倒下时能够导致相邻的那块倒下.

满足这些条件的多米诺骨牌就会全部倒下的原因究竟在哪里呢？这是教师必须引导学生思考且阐述的问题，上述两个条件中的每个条件所起的作用究竟在哪里是教学过程中不可或缺的环节，学生在这些原因与作用进行思考与解释之后才能对数学归纳法的实质产生真正的领悟，后续学习中对于这一方法的运用才会更加熟练而灵活.

教师在教学中还需要引导学生明确所有骨牌倒下的这些条件是必须的，同时，还应该引导学生弄清楚我们应该要做的，多米诺骨牌全部倒下才可能实现.

骨牌模型的及时呈现与具体事例的分析思考使得学生对于抽象数学方法的理解相对轻松.

运用数学归纳法对本课命题进行证明时只要之前我们所阐述的两个步骤，我们在此题的解决中需要做的事情也因为“证明”二字变得明晰. 教师在教学时应引导学生首先明确“做什么”和“为什么”，尤其应让学生明白第二步的任务是证明某一命题的成立，“n=k（k≥n0，k∈N*）时p（k）成立”是这一命题的条件，“n=k+1时p（k+1）成立”是这一命题的结论.

教师在课堂教学时可以将上述过程进行板书并形成下面的表格，使学生在表格内容、归纳法和多米诺骨牌的对比学习中不断加深对这一方法的理解.

学生在初学数学归纳法证明命题时往往会将第二步写成“设n=k（k≥n0，k∈N*）时结论成立，要证明n=k+1时结论也成立”，笔者不仅不允许这样的行为出现，而且还会要求学生将“结论成立”写得更加具体，这使学生在审题与证明过程中能够清晰了解要证明的内容，学生一旦明确命题的条件与结论也就能够更好地把握问题的精髓了，在具体解决过程中也就很快能够联系分析、反证等诸多的方法了，学生感受演绎推理特征的同时也使得自身逻辑思维能力得到了更好的培养.

另外，假设n=k（k≥n0，k∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立中“n=k（k≥n0，k∈N*）时命题成立”这一条件又是从何而来的呢？对于这一问题的理解可以借助多米诺骨牌模型来实现. k就好比多米诺骨牌中的“前一块”，“n=k（k≥n0，k∈N*）时命题成立”就好比“前一块倒下”，因此，证明“n=k+1时命题成立”也就转化成了“导致后一块必然倒下”.

再比如，如果你在别人帮助下计算出了第1000项，那么第1001项就一定能够计算出吗？

总之，数学教学效果的良好获得必然要建立在数学理解到位的基础之上，同时，教师在教学中还应对学生的学习心理进行研究并依此进行教学环节的科学设计，使得教材、学生等都在教师的潜心研究与设计之后焕发出夺目的光彩.