浅谈“三角形边角互化”问题

2018-01-07 01:20程晓红
数学学习与研究 2018年19期
关键词:正弦定理解三角形余弦定理

程晓红

【摘要】本文研究了边角互化问题中的如何选择统一化为边或角的问题.本文通过对简单例题进行分析归纳总结出边角互化问题的方法:首先判断题目中的信息是否包含两个及两个以上的平方项(其中形如a2,sin2A,asinA均属平方项),若包含两个及两个以上平方项将题目中的信息统一化为边,否则将题目中的信息统一化为角.并利用例题验证了结论的可行性.

【关键词】正弦定理;余弦定理;解三角形;边角互化

解三角形是高考的必考和重点考查内容,并逐渐成为三角函数部分的核心考点.其中,主要题型包括三类:一是求三角形的边或角;二是三角形形状的判定;三是最值问题.解决这类问题,一般都是统一化为边或统一化为角,那么怎样确定化为边还是化为角呢?这就是本文所要探讨的问题.

一、知识点总结

(一)正弦定理

asinA=bsinB=csinC=2R(2R为△ABC的外接圆直径).

(二)余弦定理

c2=a2+b2-2abcosC(已知两边a,b及夹角C求第三边c).

cosC=a2+b2-c22ab(已知三边求角).

二、探究规律方法

类型一:转为边

例1 在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,a2-b2=3bc,sinC=23sinB,求角A的大小.

解 ∵sinC=23sinB,由正弦定理可得c=23b.

又∵a2-b2=3bc,由余弦定理可得

cosA=b2+c2-a22bc=-3bc+c22bc=-3b+23b2b=32,

∴A=π6.

例2 在△ABC中,角A,B,C所对的长分别为a,b,c,若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC的形状是_______.

解 ∵sin2A+sin2B<sin2C,

由正弦定理可得a2+b2<c2,

由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab<0,

∴△ABC为钝角三角形.

例3 在△ABC中,角A,B,C所对的长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,求cosC的最小值.

解 cosC=a2+b2-c22ab=c22ab.又∵2ab≤a2+b2=2c2,

∴cosC=c22ab≥c22c2=12,∴(cosC)min=12.

观察以上三个例题,包含解三角形中的三类题型:求角或边;判断三角形形状;最值问题.分析以上三个例题,可以看到在题目所给出的条件中,均含有两个或两个以上的平方项,而在解题的过程中,均为利用正、余弦定理将题目中的信息统一化为边并利用余弦定理求解.

类型二:转为角

例4 在△ABC中,bcosA+acosB=2ccosC,求角C的值.

解 ∵bcosA+acosB=2ccosC,

由正弦定理可得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosC,

∴sin(A+B)=sin2C,

∴A+B=2C或A+B+2C=180°(舍去),∴C=π3.

例5 设△ABC的内角A,B,C所对的长分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,判断△ABC的形状.

解 由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,

∴sin(B+C)=sinAsinA,∴sinA=sinAsinA,

∴A=π2,∴△ABC的形状为直角三角形.

观察例4、例5两个例题,包含两类问题判断三角形问题以及三角化简问题.分析这两个例题,可以看到在题目所给出的条件中,并没有含两个或两个以上的平方项,而在解题的过程中,均为利用正、余弦定理将题目中的信息统一化为角并利用三角函数求解.

三、规律方法总结及应用

根据以上分析,将边角转化方法总结如下:

判断题目中的信息是否包含两个及两个以上的平方项(其中形如a2,sin2A,asinA均属平方项)否

将题目中的边利用正弦定理统一化为正弦(角)

将题目中的正弦利用正弦定理统一化为边

利用三角函数求解

利用余弦定理求解

这类方法适用于大部分边角互化问题中,而在较为复杂的三角互化问题中更能体现它的优势,而在具体问题中可以多次使用此方法,使每一步清晰明了,使复杂问题简单化.

例6 设△ABC的内角A,B,C所对的长分别为a,b,c,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2+b2)sin(A+B),判断三角形形状.

解析 ∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2+b2)sin(A+B),

∴a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b2[-sin(A-B)-sin(A+B)],

∴2a2sinBcosA=2b2sinAcosB(等式中存在两个平方项,正弦化为边),

∴2a2bcosA=2b2acosB,

∴acosA=bcosB(等式中不存在平方項,边化为正弦),

∴sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B,

∴A=B或2A+2B=π,∴A=B或A+B=π2,

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.

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