分段函数积分问题的求解方法

齐玮

【摘要】分段函数是高等数学教学中的一个重要知识点，所以研究分段函数的定积分问题是必不可少的，本文给出分段连续函数、分段不连续函数的定积分的求解方法，并且通过引入例题进行详细计算和验证.

【关键词】定积分;分段函数;间断点

近年来研究分段函数的连续、导数、极限、不定积分等相关问题的文献层出不穷，而关于分段函数的定积分，一般很少涉及，但它在高等数学中所占有的地位却是无法取代的，而且关于此类问题的计算具有典型的技巧性，是各类考试的热点，本文将着重研究它的求解方法，以助于提高学生的计算能力.

一、分段连续函数定积分的求法

分段连续函数定积分的求解方法有两种：一是一般方法，通常是利用定积分的分段可加性的性质进行分段积分;二是先判断其原函数是否连续，再利用牛顿-莱布尼茨公式来计算.

（一）定积分的分段可加性

例1 设f（x）=ex，x∈（-∞，]，x+1，x∈（0，+∞）， 求∫2-1f（x）dx.

解 由定理知，其中ex在（-∞，0]上是连续函数，且x+1在[0，+∞）上也是连续函数，因此，∫2-1f（x）dx=∫0-1exdx+∫20（x+1）dx=ex0-1+12x2+x20=5-1e.

（二）牛顿-莱布尼茨公式

例2 设f（x）=x+2，x∈（-∞，-1]，x2，x∈（-1，1），3x-1，x∈[1，+∞）， 求∫2-2f（x）dx.

解 由题意知原函数

F（x）=12x2+2x+c1，x∈（-∞，-1]，13x3+c2，x∈（-1，1），32x2-x+c3，x∈[1，+∞） 连续，则

limx→-1-12x2+2x+c1=limx→-1+13x3+c2，

limx→1-13x3+c2=limx→1+32x2-x+c3，

即-32+c1=-13+c2，13+c2=-2+c3，得c1=0，c2=-76，c3=-43.代入原函数，

那么有F（x）=12x2+2x，x∈（-∞，-1]，13x3-76，x∈（-1，1），32x2-x-43，x∈[1，+∞）， 则∫2-2f（x）dx=F（2）-F（-2）=83-（-2）=143.

二、分段不连续函数定积分的求法

由于分段不连续函数的间断点的数量不同，可以分为有限个间断点和无限个间断点.有限个间断点的计算较简单，只需研究其单调性，再根据定积分的分段可加性及牛顿-莱布尼茨公式进行计算，而无限个间断点的计算较复杂.

（二）有限个间断点的分段函数的定积分的求法

对于有限个间断点的分段函数定积分的求法，若分段函数f（x）在区间[a，b]上有界，且具有有限个间断点，即f（x）在此区间上是可积的;若分段函数在区间[a，b]上是单调的，则f（x）在该区间上是可积的.因此，对含有限个间断点的有界分段函数求定积分，应先研究其单调性.

例3 设f（x）=-x，x∈[-1，0]，cosx+1，x∈（0，1]， 求∫1-1f（x）dx.

解 由题可知f（x）在[-1，1]上只有一個间断点x=0，且在区间内是单调递减的，则∫1-1f（x）dx=∫0-1（-x）dx+∫10（cosx+1）dx=-x220-1+（sinx+x）10=sin1+32.

（二）无限个间断点的分段函数定积分的求法

含有无限个间断点的分段函数定积分，由于它的积分区间同样是不连续的，所以其求解技巧很高，这也是分段函数定积分的难点所在.

例4 设f（x）=0，x=0，1n，1n+1<x≤1n（n=1，2，…）， 求∫10f（x）dx.

解 显然f（x）在[0，1]是增函数，且有无限个间断点xn=1n，n=2，3，…，可知，f（x）在[0，1]上可积，以xn=1n，n=2，3，…，作为分点将[0，1]分为无数个小区间，在每个小区间上取ξk=1k（k=1，2，…）做无限和.

∫10f（x）dx=1×12+1212-13+1313-14+…+1n1n-1n+1+…

=∑∞n=11n1n-1n+1

=∑∞n=11n2（n+1）

=π26-1，

其中∑∞n=11n2=π26，∑∞n=11n+1-1n=-1.

以上就是关于分段连续函数、分段不连续函数的定积分的求法介绍.在解决实际问题时，只要认清其本质，从基本定义入手，关于分段函数定积分问题的计算就能迎刃而解.

【参考文献】

[1]丁玉敏.分段函数中的几类问题分析[J].胜利油田职工大学学报，2003（4）：53-54.

[2]同济大学数学系.高等数学：第2版[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]华东师范大学数学系.数学分析（上册）：第3版[M].北京：高等教育出版社，2001.

[4]单传伟.有关分段函数定积分的计算分析[J].潍坊学院学报，2013（2）：75-77.