对数大小的比较

龚丹

摘要：当两个对数式是同底时，可直接用相应对数函数的单调性得出结论；而当两个对数式不同底时，要比较大小就困难多了。本文举例说明这种情况下求解的若干方法。

关键词：对数大小的比较；高中数学教学；重要教学内容

中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2017）12-0128-01

在高中数学学习中，指数与对数大小的比较一直是学习的难点，在以前的学习中，我们主要是采用求值、作差、作商等方法来比较大小，但是有时面对求值很繁琐或者人工无法求解的时候，学生对他们之间的比较可能会无从下手，但是只要我们掌握解决办法，很多难题便可以迎刃而解。

1.对数

如果 a^x=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作 x=log（a）N .其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。且a>0并且a≠1，N>0在实数范围内，负数和0没有对数[1]。在复数范围内，负数有对数。由于数学是为现实生活服务的--建立的必须是现实存在的数学模型，故在现实生活中不存在真数为负数的数学模型。所以，高等数学中真数为负数的情况仅在理论上成立。

1.将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并把log（10） N 记为 lg N.

2.以e为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并把log（e） N 记为 ln N.

零没有对数.

3.log（a） 1 =0，log（a） a =1

在实数范围内，负数无对数。在复数范围内，负数有对数。

2.当底数相同，真数不同时

当对数的底数相同，真数不同时，可直接应用对数函数的单调性来解决.

例1比较下列对数的大小：

（1）log23.4与log23.8；

（2）log0.51.8与log0.52.1；

（3）loga5.1与loga5.9.

解 （1）设f（x）=log2x，因为底数2>1，所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上是增函数，又真数3.4<3.8，∴f（3.4）

（2）设g（x）=log0.5x，因为底数0.5<1，所以函数g（x）在定义域（0，+∞）上是减函数，又真数1.8<2.1，∴g（1.8）>g（2.1），即log0.51.8>log0.52.1.

（3）当a>1时，由（1）题知loga5.1loga5.9.

3.当真数相同，底数不同时

当对数的真数相同，底数不同时，可先对它们取倒数，通过比较倒数的大小来达到比较原对数的大小为目的[2] ，其实还可以作图比较大小（画出底数不同的对数函数的图像）。

例2比较下列对数的大小：

（1）log1.83与log2.53；

（2）log1.85与log0.45.

解（1）∵1log1.83=log31.81log2.53=log32.5

由例1知0

∴1log1.85<1log2.53，∴log1.83>log2.53。

（2）∵1log1.85=log51.81log0.45=log50.4

log51.8>0 ，log50.4小于0

∴log1.85>log0.45.

4.當底数、真数都不相同时

当对数的底数、真数都不相同时，关键是找到介于二者之间的中间数。

例3比较下列对数的大小：

（1）log23与log20.5；

（2）log75与log67；

（3）log827与log925.

解（1）∵log23>log21=0，又log20.5log30.5.

（2）先定正负，log75>0，log67>0，二者皆正；∵真数5<底数7，真数7>底数6，方向相反，故可用1作中间数.其具体接题过程是：

∵log75

∴log75

（3）先定正负，log827>0，log925>0，二者皆正；注意到真数27>底数8，真数25>底数9，真数27>真数25与8底数<9底数，故可用log927作中间数，于是

log827>log927，log925

∴log827>log925.

上面通过对三类不同问题的解答，介绍了比较两个对数的方法、步骤及策略，概括起来就是：同底用单调；同真取倒用单调或者作图；真底都不同，找中介沟通。

5.求差法

要比较两式A与B的大小，只要计算A-B，并确定它的符号即可。

例4、比较log1.12与log1.22大小

解：log1.12-log1.22=lg2lg1.1-lg2lg1.2=（lg1.2-lg1.1）lg2lg1.1lg1.2=lg1.21.1lg2lg1.1lg1.2

上式中的四个对数式均大于零，则log1.12-log1.22>0，所以log1.12>log1.22。

评注：对于底数不同，真数相同的两个对数式，都可用本例方法比较大小。

结束语：

以上对对数大小比较进行了详细分析，从中分析了对数对比的具体方法（利用对数函数的单调性，引入中间变量0或者1，或者一个具体的对数值，作差法，作商法等），有时幂和对数相结合进行比较，方法与以上类似！

参考文献：

[1]李伟年. 比较对数大小的一种新方法[J]. 滨州师专学报，2017，（04）：35-36. [2017-09-04].

[2]孟庆武. 谈对数大小的比较--对省编中职《数学》教材的一点看法[J]. 科学大众，2017，（05）：108+56. [2017-09-04].