导数放缩问题的几大思考

王尊

放缩问题是导数学习中的难点，也是高考压轴题中的常见题型，是冲刺高分、满分所必须攻克的难关，其门目复杂，变种繁多，但仍然有章可循.

一、据题目信息放缩

例1   已知f（x）=e-x-ax（x∈ R ）.

（1）当x≥0时，f（-x）-ln（x+1）≥1，求a范围.

（2）求证e2- e ≤ 3 2 .

解  （1）略.答案：a∈[-2，+∞）.

（2）（分析：要证lne2- e ≤ln 3 2 ，只需证： e ≥2-ln 3 2 .）

由（1）得ex-2x+ln（x+1）≥1，

令x= 1 2 ，得 e -1+ln 3 2 ≥1，

∴ln 3 2 ≥2- e ，即e2- e ≤ 3 2 .

总结：目标不等式与原不等式有较大的相似性，可考虑利用第一问结论加以证明.

例2   已知b∈[-1，0]，c∈[-2，0]，函数f（x）=x3+3bx2+3cx，求极值.

解  f（x1）∈ -10，- 1 2  ，x1∈[1，2]，

f′（x）=0 x21=-2bx1-c，

∴f（x1）=x31+3bx21+3cx1=- 1 2 x31+ 3c 2 x1.

又∵b∈[-1，0]，c∈[-2，0]，

∴f（x1）在[1，2]单调递减，

f（2）≤f（x1）≤f（1），即4b+4c≤f（x1）≤b+2c，

即-10≤f（x1）≤- 1 2 .

总结：利用极值点的特殊性，f′（x）=0.不但可在所求问题中进行代换，还能用于对数、指数互化，也用于本题中的降幂处理，之后再利用x1的范围进行求解.

二、常见放缩、不等式放缩

常見放缩多从泰勒公式出发，平时对常用的放缩形式记忆，考试中亦可根据所需形式用泰勒展开推导出想用的形式.

f（x）= f（x0） 0！ + f′（x0） 1！ （x-x0）+ f″（x0） 2！ （x-x0）2+…+ fn（x-x0）n n！ +Rn（x）.

常用形式： ex≥x+1， lnx≥1- 1 x ， lnx≤x-1， sinx≤x， cosx≥1- x2 2 .

注意：推导时注意舍去的项之和的正负，以判断不等号方向.

如，欲证g（x）=ex+ 1 x+1 +a≥0;a≥-2，

可以证g（x）=ex+ 1 x+1 +a≥（x+1）+ 1 x+1 +a≥2 （x+1）· 1 x+1  +a=2+a≥0;x≥-1.

便是常见放缩与不等式放缩的综合.

不等式放缩又可用于根式中，常与均值不等式结合.

如， x+1 =1× x+1 ≤ 12+（ x+1 ）2 2 = x+2 2 = x 2 +1.

如此化简题目中的根式，避免通过平方导致次数升高.

三、常数放缩

① 常数放缩：欲证ax2+bx≥clnx+1.792，x∈[m，n]，

可证：ax2+bx≥clnx+2.

可化简运算，若欲证的不等式在处理过程中必须对复杂常数平方，开方的话，这种放缩就显得更加优越.

② 参数放缩：

例如，已知a≤1，证明x+1-a≥0，

即x2+1-a≥x2+1-1=x2≥0.

这是一个简单形式，但在具体题目中却容易被忽视，是应该格外注意的一种形式.

四、分步放缩

2x3-3x2-3lnx≥e2的证明，g（x）=2x3-4x2，h（x）=x2-3lnx.

再分别求最小值.注意，g（x），h（x）未必在相同x值处取最值，但必须保证g（x），h（x）存在最值，若无最值，则须对g（x），h（x）做进一步处理，令其出现最值.

五、常见放缩推导其他放缩

① 换元：lnx≤x-1 ln（x+1）≤x+1-1=x.

② 不等号方向的扭转.

欲证ex+ax≤lnx，x∈（m，n），若欲用lnx≤x-1，则ex+ax≤x-1不能推出ex+ax≤lnx，这是因为等号方向不满足证明要求.

调整不等号方向：lnx≤x-1，

∴ln 1 x ≤ 1 x -1，

∴-lnx≤ 1 x -1，∴lnx≥1- 1 x .

从而将“≤”换为“≥”，再利用ex+ax≤1- 1 x  ex+ax≤lnx.

六、放缩失败的处理方法

有时放缩过强会导致结果不严格，可缩小放缩的“步伐”.

例如，估计ln 3 2 的近似值， 2 3  x- 1 x  - 1 12  x2- 1 x2  ≤ lnx≤ 1 2  x- 1 x  ，

ln 3 2 ≤ 1 2   3 2 - 2 3  = 5 12 ≈0.4167，

ln 3 2 > 2 3   3 2 - 2 3  - 1 12   9 4 - 4 9  ≈0.4051.

结果不严格，于是缩小“步伐”：

ln 3 2 =ln 5 4 +ln 6 5 ≤ 1 2   5 4 - 4 5  + 1 2   5 6 - 5 6  <0.409，

ln 3 2 =ln 5 4 +ln 6 5 ≥  2 3   5 4 - 4 5  - 1 12   25 16 - 16 25   +

2 3   6 5 - 5 6  - 1 12   36 25 - 25 36   >0.406.

用 6 5 ， 5 4 代入可使得偏差减小，削弱放缩的强度.

类似思想应用于数列放缩的失败中，可以保留前几项，再对后面的项放缩，这也是削弱放缩的方法.