平面解析几何中的易错点剖析

平面解析几何研究的内容是求曲线方程，再通过方程的特征研究曲线的几何性质，是数与形结合的典范，体现了用代数的方法研究曲线的思想方法.高考中重点考查直线、圆以及圆锥曲线的定义、方程、几何性质，直线与圆和圆锥曲线的位置关系，对同学们的思维能力、运算求解能力及数学思想方法的灵活运用要求较高.复习这部分内容时要理清概念，掌握基本方法，特别要注意理清概念的内涵与外延，对一些常见概念及公式的易错点要了如指掌.本文从解析几何的典型易错知识与方法加以剖析，以提高大家的辨别能力，提高解题速度与正确率.

易错剖析一：基本概念理解偏差致错

例1设双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为.

错解：由题意，b=2，c=23，故a=22，所以双曲线的渐近线方程为y=±22x.

错因分析：虽然结果正确，但是解决问题过程中概念不清晰，双曲线的虚轴长为2b，焦距为2c.

正解：因为2b=2，所以b=1，因为2c=23，所以c=3，所以a=c2-b2=2，所以双曲线的渐近线方程为y=±bax=±22x.

例2已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是.

错解：方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线，所以m2+n>0，3m2-n>0，所以-m2

∴焦距2c=2×2|m|=4，解得|m|=1，∴-1

错因分析：方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线，不一定是m2+n>0，3m2-n>0，应正确转化为（m2+n）·（3m2-n）>0，解得-m2

正解：∵方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线，∴（m2+n）·（3m2-n）>0，解得-m2

由双曲线性质，知c2=（m2+n）+（3m2-n）=4m2（其中c是半焦距），∴焦距2c=2×2|m|=4，解得|m|=1，∴-1

评注：对于圆锥曲线的概念和性质要准确把握，其中双曲线的实轴长、虚轴长，椭圆的长轴长、短轴长及焦距分别对应是哪些量是易错点，再有，椭圆、双曲线及抛物线的方程要先确定焦点位置，再确定基本量.

易错剖析二：知识交汇处转化不准确致错

例3直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是.

错解：设直线的倾斜角為θ，则有tanθ=-sinα.因为sinα∈[-1，1]，所以-1≤tanθ≤1，所以-π4≤θ≤π4.

错因分析：上述错解中不理解直线倾斜角的概念，其范围应该是θ∈[0，π），再有要善于用正切函数的图像解题.

正解：设直线的倾斜角为θ，则有tanθ=-sinα.因为sinα∈[-1，1]，所以-1≤tanθ≤1，又θ∈[0，π），所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.

评注：根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性.

易错剖析三：选用直线方程时没有考虑其适用条件致错

例4经过点P（-5，-4），且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是.

错解：由题意，设所求方程为y+4=k（x+5），即kx-y+5k-4=0.

由12·（5k-4）·（4k-5）=5得，k=85，故所求直线方程为8x-5y+20=0.

错因分析：截距概念模糊不清，误将直线在x轴和y轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”.事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为12·|5k-4|·|4k-5|，而不是12·（5k-4）·（4k-5）.

正解：由题意设所求方程为y+4=k（x+5），即kx-y+5k-4=0.

由12·|5k-4|·|4k-5|=5得，k=85或k=25.

故所求直线方程为8x-5y+20=0或2x-5y-10=0.

点评：“距离”与“截距”、两直线夹角与到角等基本概念，看似基础，实则涉及到一类问题的本质，易致错.

例5过点（3，3）且横、纵截距相等的直线方程.

错解：设所求方程为xa+ya=1，将（3，3）代入得a=6，得直线方程为x+y-6=0.

错因分析：上述错解所设方程为xa+ya=1，其中不含横、纵截距为0的特殊情形，事实上，横、纵截距为0且过点（3，3）的直线y=x也符合条件，主要审题不严致错.

正解：x+y-6=0或x-y=0.

例6过点P（2，4）引圆（x-1）2+（y-1）2=1的切线，则切线方程为.

错解：当直线的斜率存在时，设直线方程为y-4=k（x-2），即kx-y+4-2k=0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，

即d=|k-1+4-2k|k2+（-1）2=|3-k|k2+1=1，

解得k=43，

∴所求切线方程为43x-y+4-2×43=0，

即4x-3y+4=0.

综上，切线方程为4x-3y+4=0.

错因分析：选用直线的点斜式方程时没有考虑斜率不存在的情形.

正解：在上述解的基础上，再讨论当直线的斜率不存在时，直线方程为x=2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；综上，切线方程为x=2或4x-3y+4=0.

点评：直线方程的五种形式中，每种形式都有其适用条件，忽视斜率不存在或零截距的情况，是很多学生经常犯的错误.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.如本题中，要关注过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解.

易错剖析四：使用公式时没有考虑公式适用的大前提

例7直线x+y+2=0与2x+2y+1=0之间的距离是.

错解：用公式d=|2-1|2=22.

错因分析：本题的“陷阱”是两平行直线的距离公式使用的大前提是两直线方程中x，y对应项的系数要相等.

正解：先将2x+2y+1=0化為x+y+12=0，

则两平行线间的距离为d=|2-12|2=324.

例8直线l过点P（-1，2）且到点A（2，3）和点B（-4，5）的距离相等，则直线l的方程为.

错解：思路一：设直线l的方程为y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0.

由题意知|2k-3+k+2|k2+1=|-4k-5+k+2|k2+1，

即|3k-1|=|-3k-3|，∴k=-13.

∴直线l的方程为y-2=-13（x+1），

即x+3y-5=0.

思路二：由题意可知AB∥l时，有k=kAB=-13，直线l的方程为y-2=-13（x+1），即x+3y-5=0.

错因分析：思路一没有考虑斜率不存在的情形，思路二从形出发只考虑了一种情形.

正解：思路一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0.

由题意知|2k-3+k+2|k2+1=|-4k-5+k+2|k2+1，

即|3k-1|=|-3k-3|，∴k=-13.

∴直线l的方程为y-2=-13（x+1），

即x+3y-5=0.

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1，也符合题意.

思路二：当AB∥l时，有k=kAB=-13，直线l的方程为y-2=-13（x+1），即x+3y-5=0.

当l过AB中点时，AB的中点为（-1，4）.

∴直线l的方程为x=-1.

故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.

评注：利用距离公式应注意：①点P（x0，y0）到直线x=a的距离d=|x0-a|，到直线y=b的距离d=|y0-b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为对应相等.

例9过直线2x+y+4=0和圆（x+1）2+（y-2）2=4的交点，并且面积最小的圆的方程为.

错解：设所求圆的方程为（x+1）2+（y-2）2-4+k（2x+y+4）=0，

即x2+y2+2（k+1）x+（k-4）y+1+4k=0，

所求圆的半径

r=（k+1）2+14（k-4）2-（1+4k）

=125k2-16k+16.

显然，当k=--1610，即k=85时，5k2-16k+16有最小值165，此时，圆的半径最小，从而面积最小.故所求的圆的方程为x2+y2+265x-125y+375=0.

错因分析：本题的“陷阱”是方程x2+y2+2（k+1）x+（k-4）y+1+4k=0表示圆的充要条件，上述解法忽视了k的限制条件（k+1）2+14（k-4）2-（1+4k）>0.

正解：设所求圆的方程为（x+1）2+（y-2）2-4+k（2x+y+4）=0，

即x2+y2+2（k+1）x+（k-4）y+1+4k=0，

化为圆的标准方程得[x+（k+1）]2+[y+12（k-4）]2=（k+1）2+14（k-4）2-（4k+1），

由（k+1）2+14（k-4）2-（1+4k）>0，得5k2-16k+16>0，

此时，所求圆的半径

r=（k+1）2+14（k-4）2-（1+4k）

=125k2-16k+16.

显然，当k=--1610，即k=85时，5k2-16k+16有最小值165，此时，圆的半径最小，从而面积最小.故所求的圆的方程为x2+y2+265x-125y+375=0.

评注：审题的关键环节是挖掘方程表示圆的充要条件，理清条件间错综复杂的关系.审题不清，是解析几何解题的大忌.

易错剖析五：忽视定义中的限制条件致错

例10已知定圆C1：（x+3）2+y2=1，圆C2：（x-3）2+y2=9，动圆M同时与定圆C1，C2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.

错解：由C1：（x+3）2+y2=1，C2：（x-3）2+y2=9，

设圆M半径为r，则MC1=1+r，MC2=3+r，

故MC2-MC1=2<|C1C2|=6，知M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，

且2a=2，a=1，c=3；b2=c2-a2=8，

故M的轨迹方程为：x2-y28=1.

错因分析：上述解法将MC2-MC1=2看成|MC1-MC2|=2，误认为动圆圆心的轨迹为双曲线，这是双曲线的概念不清所致.

正解：在上述解法中添加：由于MC2-MC1=2，知MC2>MC1，点M的轨迹是双曲线的左支，故M的轨迹方程为：x2-y28=1（x<0）.

评注：直线与圆、圆锥曲线的定义，看似基础，实则涉及到一类问题的本质，如果不注意一些限制条件，容易致错.

易错剖析六：题设转化时不等价致错

例11已知圆（x-a）2+y2=1与圆x2+y2=25没有公共点，则正数a的取值范围是.

错解：由题意可知，两圆相离，所以圆心距a2>1+5，又a>0，所以a>6.

错因分析：两圆没有公共点，除了两圆相离，还可以是两圆内含.endprint

正解：由题意可知，两圆相离或内含，所以a2>1+5或a2<5-1，所以06.

评注：在研究两圆位置关系时，要关注题设条件的等价转化，如两圆没有公共点，两圆可以是外离或内含；再如两圆相切，可以是外切也可以是内切.

易错剖析七：偏重技巧忽视本质致错

例12已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的任意一点到它的两个焦点（-c，0），（c，0）的距离之和为22，且它的焦距为2.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知直线x-y+m=0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点不在圆x2+y2=59內，求m的取值范围.

错解：（1）依题意可知2a=22，2c=2.

又b2=a2-c2，解得a=2，b=1.

则椭圆C的方程为x22+y2=1.

（2）联立方程x22+y2=1，x-y+m=0，消去y整理得3x2+4mx+2m2-2=0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-4m3，y1+y2=x1+x2+2m=-4m3+2m=2m3，

即AB的中点为（-2m3，m3）.

又∵AB的中点不在圆x2+y2=59内，

∴4m29+m29=5m29≥59，

解得m≤-1或m≥1.

错因分析：本题第（2）问中忽视了大前提：必需两根都存在，要用判别式去检验，即Δ=16m2-12（2m2-2）=8（-m2+3）>0，是致错的根本原因.

正解：（2）联立方程x22+y2=1，x-y+m=0，消去y整理得3x2+4mx+2m2-2=0.

则Δ=16m2-12（2m2-2）=8（-m2+3）>0，

解得-3

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-4m3，

y1+y2=x1+x2+2m=-4m3+2m=2m3，

即AB的中点为（-2m3，m3）.

又∵AB的中点不在圆x2+y2=59内，

∴4m29+m29=5m29≥59，

解得m≤-1或m≥1.②

由①②得，-3

故m的取值范围为（-3，-1]∪[1，3）.

评注：在研究直线与圆锥曲线的位置关系时，通过联立方程组，用判别式来判别解的情况是前提.一些技巧性的解法，虽简化了过程，但忽视了本质，易致错.

同学们，在解决解析几何问题时，首先要理解直线、圆和椭圆的定义，要理解其方程的结构特征，掌握其几何性质，要充分理解概念，掌握基本方法.高三一轮复习是一个见微知渐的过程，希望通过错误的剖析引导同学辨析正误.在解析几何的复习中，狠抓三基，不断对相应题型作出归纳总结，定能取得很好的效果.

（作者：王小青，江苏省如皋中学）