高考立体几何基本题型聚焦

王海英

常言道：知己知彼，百战不殆.在高考中，立体几何有哪些基本题型呢？本文举例说明，供同学们参考.

题型一、判断命题的真假

给出几个有关立体几何直线与平面位置关系的命题，要求判断其真伪，这类问题一般在小题中出现，难度不大.

例1设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题

①若a⊥b，a⊥α，则b∥α

②若a∥α，α⊥β，则a⊥β

③若a⊥β，α⊥β，则a∥α

④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β

其中正确的命题的个数是.

答案：1个；

解析：注意①中b可能在α上；②中a可能在β上，也可能平行于β；③中a可能在α上；④中b∥α，或b∈α均有α⊥β，

故只有一个正确命题.

评注：线线、线面、面面垂直与平行的判定和性质定理，是解决此类问题的依据，实物的简单演示法、特例法，是解决问题的法宝.

题型二、计算几何体的体积

计算旋转体、椎体、柱体或其组合体的体积或体积比，一般以小题形式出现，或出现在解答题中，难度中等或中等偏上.

例2（1）如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1∶V2=.

（2）已知△ABC的三边长分别是AC=3，BC=4，AB=5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积.

解析：（1）三棱锥FADE与三棱锥A1ABC的相似比为1∶2，故体积之比为1∶8.又因三棱锥A1ABC与三棱柱A1B1C1ABC的体积之比为1∶3.所以，三棱锥FADE与三棱柱A1B1C1ABC的体积之比为1∶24.

（2）如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB，垂足为D.

由AC=3，BC=4，AB=5，知AC2+BC2=AB2，则AC⊥BC.

∵BC·AC=AB·CD，∴CD=125，记为r=125，那么△ABC以AB所在直线为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底半径r=125，母线长分别是AC=3，BC=4，所以S表面积=πr·（AC+BC）=π×125×（3+4）=845π，

V=13πr2（AD+BD）=13πr2·AB=13π×（125）2×5=485π.

所以，所求旋转体的表面积是845π，体积是485π.

评注：（1）求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式，对于与旋转体有关的组合体问题，要根据条件分清各个简单几何体的底面半径及母线长，再分别代入公式求解.（2）对于规则的几何体的体积计算，可直接利用体积公式；对于不规则几何体的体积问题，通常通过“割”与“补”的方法，将其转化为几个规则几何体的体积的和与差.

题型三、与球有关的问题

与球有关的问题包括与球有关的体积、表面积等问题，一般以小题形式出现，难度不大.尤其是一类与球有关的切接问题，应引起大家的关注.

1.正四面体的内切球

例3若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则S1S2=.

解析：设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1=4·34·a2=3a2，其内切球半径为正四面体高的14，即r=14·63a=612a，因此内切球表面积为S2=4πr2=πa26，则S1S2=3a2π6a2=63π.

2.三棱锥的外接球

例4已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点.若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为.

解析：因为V三棱锥OABC=V三棱锥COAB，所以三棱锥OABC体积的最大值即三棱锥COAB体积的最大值，所以当C到平面OAB的距离最大时，即CO⊥平面OAB时，体积最大，设球的半径为r，则V三棱锥OABC=V三棱锥COAB=16r3=36，所以r=6，则球O的表面积S=4πr2=144π.

3.四棱锥的外接球

例5正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为.

解析：如图所示，设球半径为R，底面中心为O′且球心为O，

∵正四棱锥PABCD中AB=2，∴AO′=2.

∵PO′=4，∴在Rt△AOO′中，AO2=AO′2+OO′2，∴R2=（2）2+（4-R）2，解得R=94，

∴该球的表面积为4πR2=4π×（94）2=81π4.

评注：“切”“接”问题的处理方法

（1）“切”的处理：解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.

（2）“接”的处理：把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题.解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.

题型四、空间平行与垂直关系的证明

空间平行（垂直）关系包括线线平行（垂直）、线面平行（垂直）和面面平行（垂直），一般出现在解答题中，以证明题为主，难度中等.

1.空间中的平行问题

例6如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：

（1）直线EG∥平面BDD1B1；

（2）平面EFG∥平面BDD1B1.

證明：（1）如图，连接SB，endprint