分类讨论以寻找数学解题突破口

罗锦

【摘 要】本文从“妙用参数，简化函数问题；捋顺事件，破解古典概率型问题；结合等比，认清数列公比；同化象限，巧解三角函数”四个方面论述分类讨论思想在数学中的应用，以培养学生严谨的习惯，使学生能更准确地求解数学问题。

【关键词】高中数学 分类讨论 明晰化 条理化

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2017）07B-0157-02

分类讨论的思想是数学中非常重要而且实用的思想，体现了数学严密性的特点。高中数学具有很强的目标性，对学生的要求为能够解决大纲内的数学问题，因此，培养学生分类讨论思想非常必要。分类讨论是指在某些解题条件不确定时，通过逐条分析可能的情况，从而条分缕析地解决问题的过程。有时通过分类讨论还能获得一个统一的解。面对一些困难的问题，学生可能一时之间找不到巧妙的办法，但是通过分类讨论之后，就会拨云见日。

一、妙用参数，简化函数问题

参数是代数式中待确定的未知量，对解决问题起着关键性的作用。参数既然是有待确定或者不能确定的，那么就不能当作已知条件来用，而是需要分析其在不同条件下对题目的影响，即进行分类讨论。灵活处理函数问题中的参数，可以极大地简化函数问题的解决过程。

函数有很多种类，但不管是哪一种种类，一般来说，当其中的参数发生变化时会影响函数的性质，甚至会使原函数产生本质上的变化。下面以一道题目为例。

至此参数式对函数的影响关系已经全部明确了，所有的可能情况加在一起得到严谨的结果，这是分类讨论思想的具体应用。

在很多情况下，求解问题是没有捷径的，运用分类讨论的思想将困难问题分解为几个简单的问题，从而实现由难到易的过程。分类讨论虽然需要一个完整的过程，但是并不是将问题复杂化，而是把问题明晰化、条理化，更好地解决问题。

二、捋顺事件，破解古典概率型问题

分类讨论思想在概率问题中也得到非常广泛的应用。概率类的题目中经常会出现各种各样的事件，有些事件不能用同一种方法进行统计和分析，有的事件如选取的对象和方法不同结果也不同，因此需要进行分类讨论。

以 2008 年的山东高考题目为例。

在一次奥运火炬的传递仪式中，有从 1 到 18 编号的 18 名火炬手。如果需要从这 18 名火炬手中选出 3 人，问能够组成以3 为公差的等差数列的概率为多少。

此题属于古典概率型题目，解题的思路也比较明晰。首先要计算出总的事件个数，即符合“从这 18 名火炬手中选出 3人”事件的总个数，然后从这个总个数中求出符合“组成以 3 为公差的等差数列”条件的事件个数，后者与前者的比值即为目标事件发生的概率。构成 3 为公差的等差数列这一描述很清楚，但是以 3 为公差的数列首项没有确定，所以从 1 到 18 能产生的等差数列中元素的个数也就不能确定，因此本题目需要进行分类讨论。首先明确基本事件的总个数，是从 18 个数字中选取 3 个，为 ，因为最终结果要求比值，所以这里不必将乘积计算出来。下面我们针对数列的首项进行分类讨论。

古典概率型问题很简单，仅仅是一个比值，但是古典概率型问题下的事件可能有难有易，需要因题而异。一些比较复杂的事件往往有很多种特殊情况，或者存在容易被忽略的情况，这时候就需要学生在解题时运用分类讨论的方法，将题目的各种情况讨论全面。

三、结合等比，认清数列公比

分类讨论思想在等比数列中也有着很显著的作用，基于等比数列丰富的变化情况，有时候需要进行分类讨论。在等比数列中，有一种情况经常需要被单独拿出来讨论，那就是公比为 1时的情况。结合等比数列的题目，运用分类讨论思想，可以认清数列公比。仍然以一道题目为例进行探究。

数列公比为 1 时将具有很多特殊的性质，因此这种情况一定要单独讨论。在很多时候学生会忽略讨论，从而出现错误。可以说，认清数列公比是考验分类讨论思想熟练度的一个指标。

四、同化象限，巧解三角函数

三角函数也是运用分类讨论思想相对较多的一种函数类型，尤其是已知因变量求解自变量的过程。但是在很多情况下，三角函数的解题也可以避开分类讨论，从而减少一些麻烦。所以说分类讨论是一种很有用的数学思想，但是也不能盲目照搬。首先要考虑是否需要用到分类讨论，然后才能应用。如果可以避免分类，那么就要用其他方法来求解，这也是运用分类讨论思想的一种高级境界。

三角函数之所以需要进行分类讨论，是由其周期函数的性质决定。三角函数描述了角度与三角函数值的关系，而角度在不同象限中对值的影响是不同的。不同的角度如果在同一象限满足一定的数量关系，那么它的三角函数值也可能是相同的。因此，在一些有关三角函数的题目中，因为角度所在的象限不确定，所以经常需要进行分类讨论，以确定三角函数值的正负、大小等。分类讨论固然可以有条不紊地解出题目来，但是在实际的解题中也不能盲目地应用。如果能够确定角所在象限，那么就可能不需要进行繁琐的讨论。例如下面这一道题目。

已知 a 在第一象限，，求的值。

如果以传统的解法来解这道题目，势必要将转化为 和，或者说要通过 tana 来求解，但是无论如何，都要涉及在哪个象限的讨论，而这个过程是比较复杂的，会浪费很多时间。为此，在求解时，我们可以避免的出现，将角度控制到第一象限的范围中。题目中既然出现了二分之一，那么就需要考虑二倍角相关的公式。在本题中需要逆用一下，，通过这样的演化，将待解函数统一到了一个象限中，避免了繁琐的讨论过程。所以有时候绕过分类讨论，也是分类讨论思想解题的一种策略。

高中数学中的问题各式各样，有一些问题是非常侧重技巧性的。技巧不是凭空而来的，需要在解题中慢慢沉淀，诸如分类讨论等很多的数学思想，都不可盲目地套用，而是需要用实践去深刻领会，逐渐地形成一种技巧。

综合来说，分类讨论是一种很稳健的解题策略，不论是在正常的情况下还是在思路不清的情况下，分类讨论都可以将解题进行下去，不至于束手无策。在分类讨论的过程中，思路逐渐明晰，一些巧妙、便捷的思路也可能会在讨论中逐渐生成。

【参考文献】

[1]樸希兰，朴勇杰.分类讨论思想在高中数学解题中的应用[J].教育教学论坛，2015（7）

[2]张方东.高中数学分类讨论思想的应用[J].亚太教育，2015（8）

[3]刘祝芸.关于分类讨论思想在高中数学解题中的应用思考[J].经贸实践，2016（19）

（责编 卢建龙）