慢思，知其然；慢渗，知其所以然

胡红美

摘  要：乘法分配律的结构复杂、题型多变，孩子们很难在短时间内掌握此知识，因此，要给予学生充足的思考时间，让他们经历“慢思考——慢渗透——慢思考”的过程，这样才能让孩子们更好地理解乘法分配律的意义，建构准确的结构模型。

关键词：乘法分配律;构建模型;慢思考;慢渗透

【教前思考】

“乘法分配律”是人教版实验教材四年级数学下册第26页例7的教学内容，是孩子们在学习完乘法交换律和乘法结合律的基础上进行教学的。由于其结构复杂，题型多变，孩子们很难在一两节课上掌握乘法分配律的知识。因此，如何定位第一课时的教学，笔者与我校数学组的老师进行了一番思考，我们认为可以通过慢思考、慢渗透的方法，引导孩子们逐步从其意义的角度分析研究“（a+b）×c=a×c+b×c”这一基本模型的产生过程，验证模型结构的合理性，理解乘法分配律的意义;逐步引导孩子们通过解决层次性练习，了解和掌握乘法分配律的变式形式，构建正确的结构模型。基于以上思考，笔者进行了以下教学实践：

【教学实践】

片段一：慢探情境性问题，初步构建模型

1. 探究例1，理解规律左右两边相等的原因。

（课件出示例1）四（1）班新来了三位同学，要购买3套校服，衣服40元一件，裤子50元一条，一共需要多少钱？

（1）仔细读题，分析数学信息和问题，尝试用多种方法解题。

（2）学生独立练习后汇报。

根据学生的汇报板书：

（50+40）×3

=90×3

=270（元）

50×3+40×3

=150+120

=270（元）

师：第一种方法，你是怎么想的？

生：先求一套校服的价钱50+40=90元，再求三套校服的价钱90×3，是270元。

师：第二种方法，你们是怎么想的？

生：先求3件上衣的价格，再求3条裤子的价格，合起来是270元。

师：左边算式是求3套校服的总价，右边算式也是求三套校服的总价。想一想：这两个算式可以用什么符号连接？

（教师边说边将下面的计算过程擦去，留下两道算式：（50+40）×3  50×3+40×3。）

生：等于号。

师：为什么可以用等号连接？

生：两个算式都是求三套校服一共多少钱。

师：是的，两个算式都是求3套校服的总价，结果都是270元。所以可以用等号连接。

师：谁能说一说左边算式的运算顺序。

生：左边算式，先算50+40的和，再算90×3的积。

师：右边算式的运算顺序呢？

生：先算50×3的积与40×3的积，最后加起来得和是多少。

师：谁能够大声地读一读这个新的算式。（生读）

感受：从学生的已有知识出发，让他们在独立思考的基础上，尝试用两种方法：（50+40）×3，50×3+40×3解决数学问题。接着，给予孩子们充足的思考时间，让其慢慢思考、分析两种方法的异同。原来两种方法所求的问题相同，都是求3套校服的总价，只是计算方法不同：第一种方法先求一套校服的价格，再求三套校服的总价;第二种方法是用三件衣服的价格加上三条裤子的价格。引导孩子们厘清了上述关系后，再让他们思考，两个算式可以用等号连接吗？为什么？在慢思考过程中，孩子们已经从意义上理解了两种方法的共同点，所以他们自然而然就能归纳出（50+40）×3与50×3+40×3可以用等号连接的原因。

2. 探究例2，分析规律两边相等的原因。

（1）课件出示例2（图1）：

四（1）班分两个小组种花

第一小组种了6列花  第二小组种了5列花

两个小组一共种了几朵花？

（2）学生独立分析数学信息和问题后，用了两种方法解决了数学问题：

（6+5）×4    6×4+5×4

师：请你说说第一种方法，你是怎么想的？

生：第一小组种了6列花，第二小组种了5列花，两个小组一共种了11列花，每列花有4朵，11列花一共有44朵花。

师：第二种方法，你们是怎么想的？

生：第一小组种了6列花，每列种4朵花，一共种了24朵花。第二小組种了5列花，每列种4朵花，一共种了20朵花。两个小组一共种了44朵花。

师：既然两个小组都种了44朵花，（6+5）×4，6×4+5×4这两个算式相等吗？

生：相等。

师：为什么相等？

生：左边算式是求两个小组一共种了多少朵花，右边算式也是求两个小组一共种了多少朵花。两种方法算出来的结果都是44朵花。

师：两个算式解决的问题是一样的，结果是相等的，所以两个算式相等。（板书“=”）

（6+5）×4=6×4+5×4

师：从乘法意义的角度理解，左边算式表示几个几？

生：11个4。

师：11是指什么？

生：11是指第一小组种了6列花，第二小组种了5列花，两个小组一共种了11列花，每列有4朵花，共有11个4。

师：右边算式表示几个几加几个几得几个几。

生：6个4加5个4。

生：合起来就是11个4。

师：左边算式表示11个4，右边算式也表示11个4，左右两边的算式表示的乘法意义一样，所以也相等。

师：谁来大声地读一读这个新算式。（生读）

感受：如果仅从例1解决“求总价”这一问题入手，分析乘法分配律结构模型的合理性，素材的运用是不够的。例2则从解决“求工作总量”的角度入手，给予孩子们充足的思考时间，引导其慢思考两个算式（6+5）×4，6×4+5×4为什么相等。孩子们从三个角度加以分析：①两个算式所求的问题相同，两个小组一共种几朵花？②两个算式计算的结果相同，都是44朵。③两个算式表示的乘法意义相同：左边算式表示11个4，右边算式表示6个4加5个4，也是11个4，左右两边算式都表示11个4。由于保证了孩子们慢思考的时间，所以这个分析过程还是很有效果的。

另外，两个例题都注重引导孩子们读算式。通过读，能帮孩子们慢慢地感受规律左右两边的运算顺序不同，帮助孩子们正确地构建乘法分配律的数学模型。

片段二：慢研生成性问题，深入理解模型

1. 尝试举例，验证模型。

师：根据黑板上的新算式，你能举一个这样的例子吗？

学生举例后汇报：

生：（5+7）×6=5×6+7×6。

师：对吗？我们一起来算一算。

生：左边算式等于72，右边算式等于72，是相等的。

师：从乘法意义角度分析，左边算式表示几个几，右边算式表示“几个几+几个几=几个几”。

生：左边算式表示12个6，右边算式是5个6加7个6是12个6。

师：看来他举的例子是正确的，左边算式和右边算式不仅结果相等，表示的乘法意义也一样。

师：还有不同的算式吗？请你只说左边的算式。

生：（8+9）×39=？

师：请你们想右边的算式，谁来说一说右边的算式。

生：8×39+9×39。

师：他说得对吗？

生：我通过计算得出这两个算式是相等的，所以他说的是对的。

师：还有不同的算式吗？请你只说右边的算式，其他同学想左边算式。

生：30×2+20×2。

师：谁来说一说左边的算式。

生：（30+20）×2=？

师：他说得对吗？

生：对，我通过口算得出两个算式的结果相等。

师：请你们从这三个算式中选一个读给自己的同桌听。

感受：课堂上生成的有价值的资源，是数学课堂上宝贵的财富。起初，在这个环节的教学中，笔者采用一问一答的形式，让孩子们汇报自己举的例子，没有提问形式的变化，很单调。其实，孩子们举的例子就是本节课上生成的有价值资源，我们可以通过不同形式让孩子们自己呈现，在多形式的呈现过程中，孩子们有时间进行慢思考。如：当学生举第一个例子（5+7）×6=5×6+7×6后，笔者引导其他孩子通过计算、分析乘法意义两种方法证明算式左右两边相等;当举第二个例子时，笔者则让一个孩子说左边算式，其他孩子想右边算式;举第三个例子时则让一个孩子说右边算式，其他孩子想左边算式;最后，让孩子们选择三个算式中的一个读给同桌听。这样，利用孩子们生成的有价值资源进行正向思维、逆向思维和读的训练，孩子们能清晰、准确地构建出乘法分配律的数字结构模型，为下面用字母概括乘法分配律打下坚实的基础。

2. 观察比较，概括定义。

（50+40）×3=50×3+40×3

（6+5）×4=6×4+5×4

（5+7）×6=5×6+7×6

（8+9）×39=8×39+9×39

（30+20）×2=30×2+20×2

（黑板上板书。）

师：同学们，我们来观察黑板上左边的算式与右边的算式，它们有什么不同？

学生归纳了三个不同点：

（1）左边算式有小括号，右边算式没有小括号。

（2）左边算式是两个数相加的和乘几，右边算式是先算乘法，再算乘法，最后相加。运算顺序不一样。

（3）左边算式有三个数字，右边算式有一个数字是重复的。

师：是的，左边算式与右边算式的运算顺序是不一样的。像这样的算式你们能够写完吗？

生：不能。

师：既然不能写完，你们能用一个算式表示所有这些算式吗？试一试吧！

学生尝试后汇报了三种方法：

（1）（□+△）×○=□×○+△×○

（2）（甲+乙）×丙=甲×丙+乙×丙

（3）（a+b）×c=a×c+b×c

师：这些算式为什么可以表示所有的数字算式？

生：图形、文字、字母都可以表示任何数。

师：同学们，你们真棒。像两个数的和乘几这样的规律是我们今天要学的什么规律？

生：乘法分配律。

师：请你們自学课本第26页乘法分配律的定义。

师：什么是乘法分配律？

（学生口述。）

师：“分别相乘，再相加”中的“分别”是什么意思？

生：比如（a+b）×c=a×c+b×c，（a+b）×c，a要乘c，b也要乘c，再把它们的积相加。

感受：由于孩子们通过分析自己所举的例子，已经构建出乘法分配律的数字模型，所以当笔者抛出问题“你能用一个算式表示所有的这些数字算式吗”时，又给予他们充足的思考时间，让他们进行慢思考、慢研究。孩子们利用自己的学习经验，概括出了三种方法：图形、文字和字母都可以概括乘法分配律的结构模型。此外，孩子们还用自己的语言概括乘法分配律的定义，但是他们概括得不够准确，所以笔者安排学生自学课文，抓住关键词理解课文中乘法分配律的定义。在这个学习过程中，孩子们的概括能力、自学能力等都得到了发展。

片段三：慢渗层次性问题，在需要中巩固延伸

1. 基础练习：想一想，填一填。

（1）（15+23）×2=____×2+____×2

（2）4×（25+9）= ____×____+____×____

（3）48×19+52×19=（____+____）×19

（4）甲×（乙+丙）= ____×____+____×____

（5）____×____+____×____=（☆+◇）×▲

学生独立练习后汇报，重点引导学生观察、分析第（3）题左边算式、右边算式与黑板上的算式，位置发生了什么变化？引出：乘法分配律不仅可以正着用，也可以反着用。得出乘法分配律的逆向字母公式：a×c+b×c=（a+b）×c。

感受：基础练习使得孩子们对本节课的学习情况进行反馈、巩固。在解决基础练习的过程中，教师可以慢慢渗透一些变式练习，这会使基础练习更具有训练的价值。如乘法分配律的逆向思考练习，笔者让孩子们在解决第（1）（2）小题的基础上对第（3）小题进行思考分析，通过比较，发现乘法分配律不仅可以正着用，也可以反着用。这种悄延伸与慢渗透的过程，符合学生的认知特点和学习规律。

2. 延伸练习：想一想，试一试。

（1）102×17=（___+___）×17=___×___+___×___

试写：试着完成这道题，想一想还有其他的填法吗？

汇报：学生汇报自己的方法。

方法：（100+2）×17=100×17+2×17

（50+52）×17=50×17+52×17

（48+54）×17=48×17+54×17

……

师：小括号里两个数相加的和只要等于多少就可以用乘法分配律解决问题？

生：只要小括号内两个数相加的和等于102就可以。

师：这些方法中，哪种方法最简便？为什么？

生：将102拆分成（100+2）时最简单，100是一个整百数，2是一个一位数，用这两个数分别去乘17，使得计算更简便。

感受：在数学教学活动中，教师要鼓励和提倡解决问题方法的多样化，在算法多样化的基础上，渗透用最优策略解决问题的意识。如孩子们在尝试运用多种方法解决问题“102×17=（___+___）×17”的过程中，发现只要是两个数相加的和乘17，都可以用乘法分配律解决问题。接着，引导他们比较不同的方法，思考哪种方法最简单并说明理由。通过思考，孩子们发现，只要将102拆分成一个整百数和一个一位数，就可以使计算更简便。通過这样的慢渗、慢思的过程，孩子们自然而然就明白了学习乘法分配律的目的是为了使计算和解决问题变得更简便。

（2）102×17

=（___+___+___）×17

=___×___+___×___+___×___

学生试写后汇报时引导学生从乘法意义的角度来分析自己写的算式是否正确。再让孩子们思考，如果是四个数或多个数相加的和乘一个数，可否用乘法分配律解决数学问题？从而得出乘法分配律的变式字母公式：（a+b+c）×d=a×d+b×d+c×d。

感受：孩子们尝试将102拆分成三个数相加的和再乘17，从乘法意义的角度分析理解，这样的拆分也可以用乘法分配律解决问题。接着让孩子们思考：如果是四个数或多个数相加的和乘一个数，也可以用乘法分配律解决问题。乘法分配律的变式形式，通过慢渗透、慢思考、慢探究的方式让孩子们逐步发现，逐步理解和运用。

【教后反思】

1. 给予充足的思考时间，引导孩子“慢思”重难点问题

对课堂教学中的重点与难点知识的探究，教师需给予孩子充足思考的时间，让他们慢慢思考，细细研究，循序渐进地突破重点和难点知识。如：在探究本节课的重点知识“从乘法分配律的意义的角度理解其结构”时，笔者给予孩子们充足的思考时间，让他们先用一种或两种方法独立解决例2，孩子们得到了两种方法，再让他们慢慢思考新算式“（6+5）×4=6×4+5×4”左右两边算式相等的原因，孩子们从结果相等、生活意义相同、乘法意义相同三个方面逐一加以分析。特别是从乘法意义的角度分析原因，孩子们不仅说明了自己的理由，还结合主题图分析（6+5）个4等于6个4加5个4的原因。在这样的慢思考、慢研究过程中，孩子们不仅理解了乘法分配律的意义，还理解了其结构形式的合理性。

2. 给予充足的思考时间，引导孩子“慢思”有价值的生成性问题

生成性问题的合理利用有利于提高数学课堂教学的有效性。本案例中，孩子们自己举例写一个乘法分配律的式子，就是很好的生成性资源，笔者则发挥了这些例子的作用，花了较多的时间开展多种学习形式，让孩子们慢慢思考，归纳、概括乘法分配律的意义，构建正确的数学模型。如：首先，引导孩子多角度思考、验证自己举的例子是否正确;其次，通过多种出题形式，引导孩子思考（如当一个孩子说左边算式，其他孩子想右边算式）;再通过读自己写的算式给同桌听，逐步体会乘法分配律两边算式的结构与算法的不同;接着，通过观察、比较，让孩子们自己思考，归纳出乘法分配律的字母公式;最后，通过自学课文，理解乘法分配律的定义。在这样的慢思考过程中，孩子们对乘法分配律意义的理解会更加深刻。

3. 在层次性练习中“慢渗”，引导孩子“慢思”延伸性问题

层次性练习既要有对基础知识的巩固性练习，又要慢慢渗透延伸拓展性练习，才能满足不同孩子的学习需求，才能达到巩固内化和延伸拓展的双重作用。在本案例的练习环节中，笔者由易到难，慢慢渗透乘法分配律的变式练习，让孩子们有选择性地解决问题。如：乘法分配律的逆运算练习，放在基础练习中的第（3）小题。孩子们在无痕的练习中，通过与前面所举的例子进行比较，自然得到乘法分配律的结构不仅可以正着用，还可以反着用;在探究“多个数相加的和乘一个数可以用乘法分配律解决问题”时，笔者由简单到复杂，逐题呈现变式练习，给予孩子充足的思考时间，让不同层次的学生根据自己的解题能力解决延伸性问题，让不同层次的孩子都能在慢渗、慢思的过程中得到发展。