“乘法分配律”研究综述

许德道

乘法分配律是小学数学教材中的重点内容之一，作为五大运算定律之一，它历来备受关注，成为许多教师积极探索的主题。但由于其内容本身的难度、教师教学方式的单一以及学生理解能力的局限，使得这一内容的学习效果常常不尽如人意。因而，对乘法分配律的教与学注入新的思考，寻找新的教学着力点，创新教学的方式与方法，探索具有实效的教学策略，改进教学效果，具有较强的现实意义和较高的教学价值。

一、运算定律的意义

1.运算定律是建立数学大厦的基石

在数学中，研究运算的性质成为继研究运算定义之后最主要的基础工作。在运算的各类性质中，最基本的几条性质通常被称为“运算定律”。五条运算不仅适用于整数的加法和乘法，也同样适用于有理数的加法和乘法。随着数的范围进一步扩展，在实数甚至复数的加法和乘法中，也仍然成立。由于其在数学发展中的重要意义和作用，加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律与乘法分配律被誉为“数学大厦的基石”。

2.运算定律教学是培养学生运算能力的重要途径

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在第二学段的“学段目标”中提出：学生要掌握必要的运算技能，能准确地进行运算。在第二学段“课程内容”中进一步指出：探索并了解加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律及乘法对加法的分配律五大运算定律，会应用运算律进行一些简便运算。因而，乘法分配律有助于培养学生的简算意识，提高运算能力。

二、乘法分配律的研究

1.乘法分配律教学的理论研究

（1）乘法结构的研究

吉尔德·维格诺德从数学教育的角度，对加法结构和乘法结构做了研究。他认为：乘法结构部分依赖加法结构，这既为认知与掌握加法、乘法提供了理论参考，同样也为设计促进乘法分配律深入理解的教学策略提供了有价值的意义参考。

（2）运算定律奠基了数学的发展基础

数学家通过考查数及运算在代数上最常利用的性质，通过仔细观察分析，归结了十条，其中五条就是：加法适合交换律（a+b=b+a）、加法适合结合律[（a+b）+c=a+（b+c）]、乘法适合交换律（ab=ba）、乘法适合结合律[a（b+c）=ab+ac；（b+c）a=ba+ca]与乘法适合分配律a（b+c）=ab+ac，[（b+c）a=ba+ca]；近百年来，数学的发展都指出了包括这五条运算定律在内的十条性质的极大重要性，以此为基础，推动了数学的极大发展。如，数学中的“域”就是指每一个满足这十条性质的量的系统等；在国外，还有人做了有关学生运算定律理解水平的研究，结果表明，学生对乘法分配律的理解有利于学生理解乘法结合律；还有研究表明，9岁左右的儿童对于乘法分配律的掌握差于乘法交换律等。

（3）国内研究现状

在国内，杨晓映、何先友研究了不同问题情境对四、六年级学生运用乘法运算定律解决问题的影响。孙瑛等采用形动研究法，以主题教研活动的形式，对如何促进学生理解乘法分配律等做了专题研究，强调：乘法分配律的学习要依托模仿，促进理解；跳出原型，突出数学本质；还有教师以“课例研究”的方式对乘法分配律的课堂教学做了研究。黄剑慧对2012年版的人教版、北师大版、苏教版与浙教版4套教材中“乘法分配律”例题做了比较研究，主要比较了例题内容特点、数学问题、数学符号、数学思想等四方面的内容。

2.乘法分配律教学的实践研究

乘法分配律的教学探讨，国内杂志上发表文章，数量繁多，内容丰富。笔者通过知网检索、期刊查询、著作选读，并做了大致梳理，归纳起来，这些内容主要涉及以下几个方面：

（1）课堂教学设计、实录评析类

就乘法分配律课堂教学的设计，是大家讨论最热烈的话题，这部分文章的作者大多为一线教师或基层教研工作人员。因其数量太多，不再列举，仅就共同特点做简略分析。它们一部分就备课做了探讨。如：如何理解课程标准精神；如何组织教学内容；如何设计教案。另一部分就课堂教学做了评价分析。如：课堂教学中教师、学生的表现情况；学生的学习效果等；对所表现出来的现象做归因分析，并提出改进策略。

（2）教学策略类

课堂教学中如何实施乘法分配律的教学更有效、更高效，针对这一问题，国内有许多教研工作人员及一线教师做了实践性探索。如：丁丽老师就自己如何对学生进行乘法分配律学习前测做了分析；孙暾老师对如何对学生学习前、后做检测及其对比分析，找出普遍存在的错误题目类型，并对其原因作了分析；还有老师谈到了乘法分配律课堂教学中的指导策略以及课堂教学的方式方法，如：运用数形结合学习乘法分配律等。

（3）教学反思类

开展乘法分配律的课例研究，促进教师在反思中自我成长，出现了大量的反思性课例研究报告。这部分作品大多就自己或他人在课堂教学中存在的普遍问题做反思性探讨，具有较高的参考价值。如：朱小平老师以苏教版教材为例，就乘法分配律的教学，对“数学理解”“数学理解的层次”做了分析，并提出了促进学生“数学理解”的做法；徐希浩老师就如何指导学生分层建立数学模型，促进实质理解做了反思等。

参考文献：

[1]理查德莱什.数学概念和程序的获得[M].孙昌识，译.山东：山东教育出版社，1991：142.

[2]A.D.亚历山大洛夫，等.数学：它的内容、方法和意义：第3卷[M].王元，万哲先，等，译.北京：科学出版社，2001：309-310.

[3]杨晓映，何先友.不同问题情景对不学生运用乘法运算策略的影响[J].心理发展与教育，2007（3）：68.

[4]孙瑛，等.乘法分配律教学研究报告[J].湖南教育，2013（4）：26-29.

[5]黄剑慧.“乘法分配律”例题呈现的教材比较研究[J].新课程，2013（5）：23-24.

[6]丁丽.乘法分配律学习前测分析及思考[J].湖南教育：下，2013（4）：49-51.

[7]孙暾.“乘法分配律”专项测评情况分析[J].小学教学参考：数学，2013（4）：8-9.

[8]朱小平.用“理解”的眼光来分析和解决：也谈乘法分配律的教学困惑[J].中小学数学：小学版，2010.

[9]徐希浩.分层建立数学模型，引领学生实质理解：“乘法分配律”执教前后的思考[J].小学教学参考：数学，2011（11）：12.