平面向量的综合运用

纪丽芬

摘 要：现行高中数学人教A版必修4在第二章新增加了“平面向量”的内容。因其既有代数的特点，又有几何的性质，使“平面向量”成为高中数学一个比较特殊的概念，也是高中数学一个比较有研究价值的内容。近几年来愈发受到高考命题者的青睐，成为高考的一个新亮点。“平面向量”的引入不仅丰富了高中数学的内容，也突出了向量作为数学工具的重要性。在实际运用中，向量跟其他很多数学知识都紧密联系在一起，比如，向量与函数的联系、向量与三角函数的联系等，甚至还可以用向量去解决物理方面的问题。对平面向量的综合运用进行探讨，并就当前在平面向量的综合运用的教学中存在的问题提出相应的解决对策。

关键词：平面向量；综合运用；解决办法

数学这门学科在考查学生的数学基础知识时，注重考查学生对学科内在联系和知识综合性的把握。近代高中数学中，向量作为沟通代数、几何与三角函数的工具之一，有着极其丰富的内涵。有了向量，平移、垂直、相似、勾股定理等概念就转化成了向量的加减法运算、数量积运算等。学生在做题考试时不可避免地会碰到诸如此類的将平面向量与其他内容结合的综合性问题，这就要求学生既要掌握平面向量的知识点，也要熟悉其他的知识点，这样才能更好地解决问题，提高解题效率和运算能力。然而，通过对近几年高考数学向量试题的分析，我们很清楚地看到得分率与教师的期待相差甚远，对此，笔者将在文中对出现的问题提出一些建议。

一、平面向量的综合运用

平面向量因其特殊性常常会与其他内容结合作为选择题和填空题在考试中出现。但学生却往往因为没有彻底掌握平面向量的知识，或是对其他内容的知识点没有理解到位，常常在做有关平面向量的综合运用的问题时感到束手无策。但其实总结起来，平面向量通常也只与下面三个内容进行综合：

（一）平面向量与三角函数的综合

平面向量与三角函数的综合集中体现在向量与三角函数的化简、求值与证明，三角函数的图像与性质，解三角形等知识的综合。比如，在解三角形的问题时，就可以借助平面向量，将三角函数中的正余弦定理巧妙地转化，以边角互化的方式去解决三角形的面积、边长、角度等问题。掌握向量数量积的公式和性质是解决平面向量与三角函数综合问题的关键。

（二）平面向量与平面解析几何的综合

由于平面向量自身的数形结合的特点，向量表现出了极其显著的几何背景。向量的线性运算和数量积运算可以用来表示平面几何的平移、全等、相似、垂直等性质。因此，这种类型的综合运用在考试时尤为常见。首先要求学生学会“数形结合”，用平面向量的几何意义去解决平面向量问题。其次还应掌握运算法则。比如，数量积为零联想到垂直；不共线的单位向量的和联想到角平分线、菱形；不共线的两向量的和的一半联想到三角形的中线等。

（三）平面向量与函数的综合

在考试中，经常用以向量为载体的形式考查函数的知识来体现平面向量与函数的综合性。利用向量的知识将问题转化为函数的问题是解题的关键，体现在求函数的值域及活用奇偶性、单调性、周期性以及对称性等方面。平面向量与函数的结合要求学生在了解平面向量特点的基础上灵活化用函数式。

二、解决当前在平面向量综合运用的教学中存在的问题及对策

在近几年的试题中，对平面向量的考查基本都是对上述的三种综合类型的考查。然而，由于学生对平面向量的基本概念不够理解，尤其是对平面向量基本定理的掌握不到位，解题时无法深入思考，从而不敢选用向量法求解。通过研究分析，目前学生在求解向量试题时主要存在法则运用不当、忽略零向量的特殊情形去判断垂直和共线，忽视分类讨论，误用运算公式，忽视隐含条件等问题。为了解决这些问题，笔者做了如下思考。

（一）帮助学生树立平面向量的工具意识

近代数学中，解决三角函数、平面几何和函数问题时都以向量为媒介。有了向量，平移、垂直、相似、勾股定理等概念就转化成了向量的加减法运算、数量积运算等，从而实现将图形的基本性质向向量的运算体系的转换。教师在教学中应强调向量在解决实际问题时发挥的举足轻重的工具作用。比如，平面几何中的向量方法；用向量方法来推导两角差的余弦公式等，都体现了向量的重要的数学工具地位。教师应该帮助学生树立平面向量的工具意识，掌握以向量为工具解决数学问题的基本方法。

（二）引导学生体会向量法的基本实质

平面向量既具备代数的抽象性又显现出几何的直观性。求解平面向量的考题实际上就是研究数与形的转换。教师在教学中应该广举实例，教会学生认清向量及其运算规律与几何图形之间的联系，通过向量运算，研究几何元素之间的关系。帮助学生建立利用向量的代数解决几何问题的基本思想。

综上，平面向量在考查过程中通常会与三角函数、平面几何以及函数相结合，对学生的综合能力要求较高。掌握平面向量“数形结合”的特点，树立向量的工具意识，将会让学生在解答相关试题时觉得得心应手，游刃有余。

参考文献：

[1]龙旷飞.如何解决平面向量的综合问题[J].现代国企研究，2016.

[2]王红革，许志勇，沈婕.高考中“平面向量”测试对教学的反拨效应分析[J].考试研究，2012.