线面平行判定定理的证明

杨明娟

(肥西县第三中学 安徽合肥 231200)

空间几何一直是高中生学习的重点，也是难点。线面平行是直线与平面的重要位置关系，在空间几何中占有极其重要的地位。然而，笔者发现线面平行的判定定理书本未做证明，我们在教学中如果能够对其进行证明，不仅能够呈现知识体系的严密性，而且对学生逻辑思维能力的培养、数学方法的掌握，都是大有裨益的。下面就以直线与平面平行判定定理的证明为例，浅谈在类似的定理以及推论证明过程中如何培养学生的能力，提高学生的素质。

一、直线与平面平行判定定理的证明

直线与平面平行判定定理：如果平面α外一条直线a与平面α内一条直线b平行，则a∥α。

证明： 间接法(即反证法)

方法一：∵a∥b,则a、b可确定平面β,∴α∩β=b,假设a与α交于点P,∴P∈a,P∈α,∵a⊂β,∴p∈β,即P∈(α∩β),∴P∈b,即a与b有交点。而a∥b，所以假设不成立，即可得a∥α。

方法二：设a∩α=P，过P在α内作b∥c，∵a∥b，∴a∥c,又P∈c,P∈α，∴a、c相交，与a∥c矛盾，∴假设不成立，原命题正确。

2.直接法

方法一：a∥b，在α内任取一点A∉b，过点A在α内作直线c∥b，∵b∥a，∴a∥c，∴直线a与c无交点。由点A在平面α内的任意性可得，平面α内所有点与a无交点。

方法二：如右图，过b上任一点A作直线d,即b∩d=A。在d上取异于A的点B,在α内过B作c∥b，∴c∥a。由点B的任意性可得α内与b平行的所有直线c均与a无交点，又∵b与a无交点，∴α内所有点与a无交点，∴a∥α。

二、定理证明过程对学生能力的培养

课本之所以省略直线与平面判定定理的证明，可能是从知识的生成方面考虑的。该定理在理解上比较简单，容易形成感性认识。而在从感性认识上升到严密的逻辑推理的过程中，学生在逻辑思维能力的培养上、数学思想方法的掌握上都有所提高。

1.逻辑思维能力的培养方面

从感性认识到理性认识，一般来讲思维的深度是加大的。定理的证明过程即是知识从感性认识到理性认识的转化过程。如何通过一步步严密的推理对定理进行证明，这需要学生们进行积极的思考，在思考过程中，学生的逻辑思维能力得到培养和锻炼。

2.数学思想方法的掌握方面

在定理证明过程中，教师可以鼓励学生从多角度思考，运用多种方式进行推理。这对学生掌握数学思想方式是大有裨益的。数学思想方法在一次次训练中逐步熟悉、逐渐掌握。

应当说，课本省略部分定理和推论的证明，恰如国画中的留白，这留白是教师发挥才智的阵地，也是学生锻炼能力的场所。我们既要充分利用教材上给出的文字，也不能舍弃教材中的留白，用心解读教材，用自己的聪明才智教好学生。