数形结合：小学数学问题教学的秘钥

黄晓华

（闽侯县南屿中心小学，福建 闽侯 350109）

数形结合：小学数学问题教学的秘钥

黄晓华

（闽侯县南屿中心小学，福建 闽侯 350109）

数形结合是一种重要的数学思想方法，它是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象问题直观化，枯燥问题趣味化，复杂问题简单化，隐性问题显性化，提高学生的理解能力，为问题的解决提供简捷明了的途径。教师在教学中有意识地渗透数学思想方法，有助于学生掌握新知，更好地建构知识体系，养成数学思考的习惯，让学生面对问题时能够灵活地运用数形结合的思想方法，提高学生分析问题和解决问题的能力，提升学生的数学核心素养。

数形结合；数量关系；解决问题

数形结合是重要的数学思想方法，也是探究新知解决问题的重要策略。数形结合就是将抽象难懂的数学语言与直观形象的几何图形结合起来，利用“以形解数”或“以数辅形”的方法，从抽象到直观，从直观到抽象，让抽象思维与形象思维和谐共舞，提高学生思维的灵活性和创造性，从而起到优化解题途径的目的，是探索和解决小学数学问题的秘钥。

一、数形结合，使抽象问题直观化

小学低年级学生年龄小，形象思维活跃，抽象思维不足。为了便于理解抽象的数学知识，要引导学生画示意图帮助理解题意，让刻板的文字变成鲜活的图形,使抽象的数量关系变得简单明了，生动形象地展现问题的本质，迅速找到解决问题的途径。

例如，有这样一道排队问题：“从前往后数，小亮排第4个，从后往前数，小亮排第6个，这一队共有多少人？

学生一看到题目就迫不及待地说：“一共有10人”。

教师问：“是这样吗？再想想。能不能把这道题的意思用图画出来？”

大部分学生开始动笔画起来，接着就有学生举手说：“老师，这一队共有9人，你看我画的图。”（如下图）

还有学生说：“对，一共有9人，算式是4+6-1=9。”“我的算式是3+1+5=9，这一队应该有9人。”……

上述教学片段中，低年级学生对数量关系的理解存在一定的困难。教师让学生通过画示意图，把“文字信息”转化为“图形信息”，问题就迎刃而解了。学生根据图示分析错因,轻而易举地发现解决排队问题的思路，多算要减去，少算加上。画示意图让学生尝到“数形结合”的甜头，在今后解决问题中就能常常想到这种方法，并主动尝试通过数形结合解决问题。

二、数形结合，使枯燥问题趣味化

现代信息技术与教材内容的整合，能有效促进数形结合，化枯燥为趣味，化静态为动态，化抽象为具体，能挖掘教材的内在潜能，在突破难点时能起到四两拨千斤的作用，有利于学生抽象思维和形象思维的协调发展。

例如，学习四年级上册《积的变化规律》后，教师利用长方形面积模型进一步理解积的变化规律。首先呈现一个长方形（如图甲），然后引导学生猜想：“当长方形的长不变时，宽扩大2倍，长方形的面积怎样变化？当长方形的长不变时，宽缩小到原来的1/2，长方形的面积怎样变化？”通过多媒体课件展示，学生直观地看到：长方形的长不变时，宽扩大两倍，图形就增高了，面积也随着扩大两倍（如图乙）；当长方形的长不变时，宽缩小到原来的1/2，图形就变矮了，面积也缩小到原来的1/2（如图丙）。有了这一直观事实的呈现，学生对“积的变化规律”的认识就更加深刻。

图1

在现代信息技术环境下，利用一些工具软件，如几何画板，帮助学生在动态中观察、探索和发现。例如，教学四年级下册《三角形内角和》时，为了进一步验证任意三角形的内角和都是180度，教师让学生利用几何画板做一次这样的数学实验：在实验中，学生通过任意改变三角形的形状，通过鼠标拖动顶点来观察三角形的形状不管如何变化，三角形的内角和始终不变，从而可以直观而自然地验证三角形的内角和是180度。这样不仅调动了学生的学习积极性，而且使学生对数学知识的理解更加深刻。

三、数形结合，使复杂问题简单化

小学数学解决问题中，学生的困难是因不会分析数量关系而导致不理解题意。如果采用数形结合的方法画出线段图，形象地揭示出条件与条件、条件与问题之间的关系，便可以帮助学生建立正确的表象，理清数量关系，顺藤摸瓜，迅速找到解决问题的思路。

例如，六年级上册练习二第17题：“有两筐苹果，第一筐重30千克，如果从第一筐中取出1/2千克放入第二筐，则两筐苹果同样重。两筐苹果一共重多少千克？”这是一道选做题，很多学生解答有困难，如果借助线段图进行数与形的转化，思路就豁然开朗了。教师引导学生画线段图（如图2）：

图2

根据题意，将对应的实际数量进行转移，并保留其痕迹，根据从第一筐中取出1/2千克，放入第二筐，则两筐苹果同样重。这样一出一进，两筐苹果的总质量不变，但现在两筐苹果变得同样重，在线段图右端用虚线上下对齐标出。这样一眼就看出原来第一筐比第二筐重2个1/2千克。线段图使较复杂的数量关系变得如此清晰，解决问题变得十分容易。要求两筐苹果一共重多少千克？可以先求出原来两筐各重多少千克，再相加。也可以先求出两筐同样重时每筐的质量，再乘2。

在这个过程中，学生亲身体验了线段图是解决问题的好帮手。利用线段图的桥梁作用，变“看不见”为“看得见”，直观描述数量之间的关系，提高学生分析和解决问题的能力，同时也使学生感悟了数形结合的优势，能在解决问题时主动养成动手画一画的好习惯。

四、数形结合，使隐性问题显性化

在实际教学中，当学生遇到需要综合运用已经学过的解决问题的知识和策略来解决生活中的实际问题时，经常会无从下手，找不到突破口。这时，如果学生能充分运用“数形结合”的方法，通过画图使数与形紧密结合，将隐性问题显性化，就能很快找到解决问题的窍门，使教学事半功倍。

例如五年级下册“打电话”：“15人的合唱队在暑假期间接到一个紧急演出，教师要打电话尽快通知到每个队员，如果每分钟通知1人，请帮助教师设计一个打电话的方案，并从中寻找最优的方案。”这一综合与实践课，关键要让学生理解打电话的各个方案并择优，引导学生发现隐含的数学规律。当学生在研究打电话通知的方案时，由于学生已有的知识基础和生活经验不同，出现了不同的记录方法，如文字记录、画图记录等。教师引导学生及时进行对比，使学生感受到在研究数学问题时，化数为形，使抽象复杂的数学问题直观化、形象化，体会到树状图对于理清思路至关重要，在这一题里起着不可替代的作用。（如图3）

图3

当数据比较大时,画图就不方便了。教师引导学生从画图过渡到列表（如图4），从图形抽象到数据，使学生的思维得到提升。通过图示与表格相结合，引导学生发现隐含的数学规律，并运用规律解决问题。这样，从数到图，再从图到数，实现数与形的相互转化，抽象出数量关系，找到解决问题的方法。

图4

总之，教师在教学中有意识地渗透数学思想方法，有助于学生掌握新知，更好地建构知识体系，养成数学思考的习惯，让学生面对问题时能够灵活地运用数形结合的思想方法，提高学生分析问题和解决问题的能力，提升学生的数学核心素养。

［1］教育部.义务教育数学课程标准（2011）［S］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］侯军波，周春萍．画图，架接思维与文字的桥梁［J］.小学数学教育，2016（9）.

［3］王超．追寻几何直观的数学价值与培养策略［J］.小学数学教育，2016（7-8）.

［4］朱玲.运用数形结合帮助解决问题［J］.小学数学教育，2016（7-8）.

陈志华）