平面内直线与二次曲线分有向线段所成的比

赵凤鸣

（四川职业技术学院应用数学与经济系，四川 遂宁 629000）

平面内直线与二次曲线分有向线段所成的比

赵凤鸣

（四川职业技术学院应用数学与经济系，四川 遂宁 629000）

给出了平面内直线与二次曲线分有向线段所成的比的公式，得到了平面内梅涅劳斯定理的必要条件的两个推广．

直线；二次曲线；有向线段；梅涅劳斯定理

我们知道，在直角坐标平面中求两直线的交点，通常是要解两直线的方程构成的方程组，但是，如果已知两点P1,P2的坐标及直线l的方程，要求l与直线P1P2交点P，则用如下定理1先求出点P分有向线段P1P2所成的比λ，再用定比分点坐标公式通常要方便得多．

定义1设点P1,P2不在直线l上，l与直线P1P2交于点P，则点P分有向线段P1P2所成的比λ叫做直线l分有向线段P1P2所成的比.若λ＞0，则称l内分有向线段P1P2，若λ＜0，则称l外分有向线段

P1P2．

按定义，直线l分有向线段P1P2所成的比λ=下面在直角坐标平面内研究直线分有向线段

所成的比．

定理1设直角坐标平面xoy内点P（1x1,y1），P2（x2,y2），直线 l:Ax+By+C=0 交直线 P1P2于点 P（异于P2），l分有向线段 P1P2所成的比为 λ，则

例1求两点P1（-5,2），P2（1,3）所在直线与直线17x+52y+7=0的交点．

定义2设点P1,P2不在二次曲线l上，l与直线P1P2交于点Q1,Q2，则点Q1,Q2分有向线段P1P2所成的比λ1,λ2叫做直线l分有向线段P1P2所成的比．若 Q1,Q2重合，即 l与直线 P1P2相切，此时 λ1=λ2．

定理2直角坐标平面xoy内两点P1（x1,y1），P2（x2,y2） 不在二次曲线 l:f（x,y）=0 上，l分有向线段P1P2所成的比为 λ1,λ2，则

证明：设l:f（x,y）=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，l与直线P1P2交于点Q1,Q2，则点Q1,Q2分有向线段P1P2所成的比λ1,λ2，现以Q表l与直线P1P2的任意交点，点Q分有向线段P1P2所成的比为λ，则QQ的坐标代入f（x,y）=0并整理成关于λ的一元二次方程f（x2,y2）λ2+g（x1,y1,x2,y2）λ+f（x1,y1）=0，则λ1,λ2是此方程的两根，故λ1λ2=

推论 直角坐标平面 xoy内两点 P1（x1,y1），P2（x2,y2）不在二次曲线l:f（x,y）=0上，l与直线P1P2交于点Q1,Q2，若f（x1,y2）=f（x2,y2），则P1Q1=Q2P2．

[1]叶立军.初等数学研究[M].上海：华东师范大学出版社，2008：201．

O 182.1；O 123.1

A

1672-2094（2017）05-0167-02

2017-08-27

赵凤鸣（1982-），女，四川阆中人，四川职业技术学院讲师，硕士。研究方向：近世代数，初等数论．

张隆辉