基于数码设备测量转动惯量

李锡均，程敏熙

(华南师范大学 物理与电信工程学院，广东 广州 510006)

基于数码设备测量转动惯量

李锡均，程敏熙

(华南师范大学 物理与电信工程学院，广东 广州 510006)

介绍了Matthaios测量转动惯量的方法，针对其实验误差来源进行了改进. 采用视频分析技术，辅以手机传感器测量了转动惯量，测量过程简便，误差小于1%.

转动惯量；Tracker；智能手机

对于物体转动惯量的测量，国内高等院校开设的实验项目主要采用的方法有三线摆法、落体法、扭摆法等，这些实验项目在加深学生对刚体转动规律的认识上起到了重要作用[1]. 然而，这些传统测量方法的测量结果存在较大误差，且也有着一定的局限性. 如三线摆法和复摆法难以对较大的物件进行准确测量[2]，扭摆法系统误差较大[3]，落体法由于仪器构造关系测量结果还需要减去仪器转轴和线轮的转动惯量等[4]. 而且，这些传统方法都需要相应的特定实验仪器才能实施测量.

随着社会科技的不断发展，近年来越来越多的研究者在物理实验中引进了现代设备，并取得了良好的实验效果. 文献[5]提出了仅用斜面和智能手机就能测出物体转动惯量的简单方法. 该方法简便高效，大幅降低了实验难度和设备要求，为转动惯量的测量提供了全新的思路. 但该方法仍存在一定的局限性，而且测量误差较大. 因此，本文拟对此方法进行改进，并采用更为精确的视频分析测量手段，缩减实验误差.

1 Matthaios的方法介绍及评析

此方法将智能手机固定在质量为m、半径为R的刚体上(如图1所示)，并将该刚体放置在倾角为θ的斜面顶端自由释放. 在斜面向下滚动的过程中，其受到重力、支持力及摩擦力，由于重力和支持力对刚体的力矩为0，刚体受到的合外力矩即为摩擦力的力矩：

L=fR=(mgsinθ-maC)R,

(1)

其中aC为刚体质心的加速度. 另一方面，绑定在刚体上的智能手机可通过内置的角速度传感器记录刚体角速度ω随时间t的变化关系，从而得出刚体的角加速度ar. 由于

aC=Rar,

(2)

L=Iar,

(3)

联立(1)～(3)式，可得到刚体转动惯量的表达式

(4)

在已知R，m，g和θ的情况下，只要测出刚体在斜面上滚动的角加速度ar，便可求得其绕中心轴的转动惯量.

图1 Matthaios实验方法示意图

文献[5]的方法优点在于其使用的实验装置极其简单,实验操作简便，而且采用智能手机进行实验，在一定程度上也能激发学生的兴趣. 然而，智能手机必须绑定在刚体上才能对角速度进行测量，而其自身的体积和质量将会对测量结果产生影响. 为了减小这种影响所带来的误差，文献[5]中挑选了质量十分大的杠铃作为待测刚体，减少手机对测量结果的影响. 但即便如此，Matthaios最后测得的数据和理论值相比，仍有8%的误差. 因此这种方法不仅误差较大，而且对待测物体也有所限制，对于一些质量和体积较小的物体，将会因手机不能绑定在其上而无法测量.

2 实验方法的改进

由于绑定在刚体上的手机是实验误差的主要来源，若采用非接触测量的视频分析方法，将可以从根源上消除这一实验误差.

关于视频分析的工具，当下较为流行的是一款名为Tracker的视频轨迹分析软件. 该软件从2012年由丁晓彬和董晨钟从国外引进国内后[6]，就得到了不少国内研究者的关注. Tracker通过追踪视频中物体的运动轨迹，可以简便快捷地分析出物体的速度、加速度等运动信息，目前已被成功运用到抛体运动的研究[7]、液体黏度的测量[8]、弹簧振子的研究[9]及验证动量守恒[10]等诸多实验中.

本文在文献[5]的实验基础上，改用视频分析工具Tracker进行测量，具体操作如下：

1)以质量为m、半径为R的木质圆柱为待测物体，在其上表面的圆心处画1个黑点(方便后期轨迹追踪)，并将其放置在斜面顶端自由滚下.

2)在斜面侧面放置1台摄像机(如图2所示)，记录下物体的运动图像.

图2 利用视频分析测量物体质心加速度

3)将图像传至电脑，利用Tracker追踪物体质心的运动轨迹，通过图像拟合分析，得到物体质心的加速度aC.

4)联立(1)～(3)式，原方法中的转动惯量表达式(4)则变为

(5)

在已知m，g，R，θ的情况下，便可得出物体的转动惯量I.

3 实验数据的测量、处理及分析

3.1 斜面倾角的确定

在文献[5]中，斜面倾角θ是直接给出的，作者并没有提及测定的方法. 传统测量斜面倾斜角的工具为量角器，若放置斜面的桌面和地面并不平行，则量角器测得的角度不能严格等于θ值，从而产生测量误差.

对此，本文利用了智能手机中“水平仪”的软件，通过调用手机内部的重力感应器和陀螺仪(测量转动角度的传感器元件)，可以自动计算出手机所在平面与水平面的夹角. 因此只需将手机平行放置在斜面上，便可通过“水平仪”快速准确地得到斜面和水平面的夹角θ(如图3所示).

图3 水平仪自动测量倾角

3.2 刚体质心加速度的分析测量

在利用摄像机得到刚体的运动图像后，将其导入到视频分析软件Tracker中. 首先以斜面的斜边长度(0.58 m)对画面内的长度进行定标，同时建立坐标轴，并使x轴与刚体质心的运动方向平行. 然后使用软件的轨迹追踪功能，每隔0.02 s记录1次刚体质心在图像中的位置，从而得到刚体的运动轨迹(如图4所示).

在Tracker自带的数据分析工具中，可导出刚体质心的位移x随时间t的数据变化图. 利用抛物线方程

x=At2+Bt+C

，

(6)

对数据点进行拟合，可得到拟合参量A，B，C(如图5所示). 对比匀加速直线运动公式

(7)

可知，刚体的质心加速度

aC=2A.

(8)

图4 利用Tracker进行轨迹追踪

图5 Tracker数据工具的拟合图及拟合参量

3.3 转动惯量的计算

通过调节斜面的倾斜角度，在相同的实验条件下拍摄多段视频，同时采用前文所述的方法进行数据处理，得到多组θ与aC的值，将其代入(5)式中，便可得到刚体的转动惯量I，如表1所示(其中刚体半径R为0.59 m，质量m通过电子秤测得为0.187 kg，广州地区重力加速度g为9.788 m/s2,I的理论值为3.255×10-4kg·m2).

表1 刚体转动惯量I的测量结果

从表1可看出，几次测得的转动惯量I值十分接近，且与理论值的相对偏差较小.

4 结束语

本文通过分析文献[5]中测量转动惯量实验

的误差来源，对其实验方法进行了改进，采用视频分析的非接触测量方法，在保留了操作简便性的同时(利用Excel软件的自动计算功能，平均测定一次转动惯量所需时间为3～4 min)，也大幅缩减了实验误差. 除了规则的圆柱体外，此方法理论上适用于一切可以自由滚动的物体(塑料水管、圆形水杯、汽车车轮等)的转动惯量测量. 由于数码设备已逐渐在学生中普及，故相比起传统测量手段，此方法使得学生的实验活动可以不被限制在实验室内，即使在宿舍或者户外有斜坡的地方也可进行实验.

[1] 庞玮,李志伟,蔡培婷,等. 黏滞摩擦下转盘转动惯量的分析与测量[J]. 大学物理,2014,33(2):41-44.

[2] 刘赟. 教学用转动惯量测量仪的设计与实现[D]. 西安：西安理工大学,2009.

[3] 丁红伟,魏英智,张琳. 关于传统扭摆法测物体转动惯量实验的改进[J]. 大学物理实验,2010,23(4):53-55.

[4] 李鸿儒. 用落体法测定转动惯量[J]. 凿岩机械气动工具,2002(2):24-28.

[5] Patrinopoulos M, Kefalis C, Cabeza C. Angular velocity direct measurement and moment of inertia calculation of a rigid body using a smartphone [J]. Physics Teacher, 2015,53:564-565.

[6] 丁晓彬，董晨钟. 基于2D开源视频分析和建模软件Tracker研究抛体运动实验[J]. 大学物理，2012，31(7)：34-36，40.

[7] 陈泽君,程敏熙. 基于tracker和python的物理建模方法——以研究抛体运动的阻力变化为例[J]. 大学物理实验,2015,28(3):84-87.

[8] 庞玮,陈峻,李志伟,等. 利用Tracker视频分析软件测量液体黏度[J]. 大学物理,2012,31(4):25-27.

[9] 王经淘，程敏熙，贾昱，等. 利用Tracker软件分析气垫导轨上弹簧振子的阻尼振动[J]. 大学物理，2014，33(4)：22-24.

[10] 何立平，程敏熙. 用视频分析软件Tracker研究二维平面碰撞的动量守恒[J]. 大学物理，2015，34(9)：31-34.

[11] 谢亮，张进治，安艳伟，等. 转动惯量测试仪的设计[J]. 物理实验，2015，35(7)：27-30.

[12] 贾昱，程敏熙，安盟，等. 基于视频分析软件Tracker测量刚体转动惯量[J]. 物理实验，2014，34(7)：33-35.

[13] 赵元晟，高渊，乐永康 ，等. 碰撞过程动能损耗的定量分析[J]. 物理实验，2017，37(4)：44-47.

[14] 曹海宾，侯娟，李金平，等. 运用Tracker视频分析软件对液体黏度实验的分析[J]. 物理实验，2015，35(12)：29-32.

Measuringrotaryinertiabydigitalinstrument

LI Xi-jun, CHENG Min-xi

(School of Physics and Telecommunication Engineering,South China Normal University, Guangzhou 510006, China)

A convenient way to measure rotary inertia was introduced. By analyzing the error of the experiment, some improvements were made. The improved experiment adopted video-analysis technology and used smart phone sensor to measure the rotary inertia. The measuring process was convenient, and experiment error was less than 1%.

rotary inertia; Tracker; smart phone

2017-06-29

广东省高等教育学会实验室管理专业委员会2016年度研究基金项目(No.GDJ2016055)

李锡均(1994-)，男，广东广州人，华南师范大学物理与电信工程学院2016级研究生，研究方向为信息技术在物理教学中的应用.

程敏熙(1962-)，男，广东四会人，华南师范大学物理与电信工程学院副教授，博士，研究方向为光电技术与系统、物理课程与教学论.

O313.3

A

1005-4642(2017)12-0017-04

尹冬梅]