圆锥曲线 “易错题”归类剖析

甘肃省礼县第一中学 杨 薇

圆锥曲线 “易错题”归类剖析

甘肃省礼县第一中学 杨 薇

在圆锥曲线的学习中,同学们由于未从根本上理解曲线与方程之间的一一对应关系,故而在数形结合与转化时常出现偏差和遗漏,在繁杂的运算中,忽视等价性,导致“失根”或“增根”的现象。本文针对圆锥曲线中常见的易错、易混、易忘的典型题进行错解剖析和警示展示,希望能引起同学们的重视。

易错类型1——忽略圆锥定义中的隐含条件

A.直线 B.抛物线

C.双曲线 D.椭圆

剖析:错解中忽略了定点(1,2)就在直线3x+4y-1 1=0上这个隐含条件,应选A。

警示:平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线。当定点在定直线上时,轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线,而非抛物线。

双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件。若2a=|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;若2a＞|F1F2|,则轨迹不存在;若去掉定义中的绝对值,则轨迹仅表示双曲线的一支。

易错类型2——忽略椭圆或双曲线焦点所在位置的讨论

警示:由椭圆标准方程求解参数值时,一定要注意焦点所在的位置,当位置不确定时要分两类进行讨论。

易错类型3——忽略椭圆参数方程(三角换元)的应用

例3 设点P(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,求x+y的最大值、最小值。

错解:因为4x2+y2=4,所以4x2≤4,解得-1≤x≤1。同理得-2≤y≤2。故-3≤x+y≤3,所以x+y的最大值、最小值分别为3,-3。

剖析:本题中x,y除分别满足-1≤x≤1和-2≤y≤2条件外,还受制约条件4x2+y2=4的约束。当x=1时,y此时取不到最大值2,故x+y的最大值不为3。选用点参式(三角换元)代入,令x=c o sθ,y=2 s i nθ,则x+y=c o sθ+2 s i nθ=5 s i n(θ+φ),故其最大值为5,最小值为-5。

警示:凡是动点在圆或椭圆上的有关最值问题,用圆或椭圆的参数方程,点参式代入构建目标函数,利用三角变换化为三角函数的有界性求解,凸显了参数方程的简化功能。

易错类型4——直线与抛物线或双曲线的位置关系研究中忽略特殊情形

例4 已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=2 2,记动点P的轨迹为W。

(1)求W的方程;

错解:(1)由|PM|-|PN|=2 2知,点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=2,又半焦距c=2,故虚半轴长b=2,所以W 的方程为-=1(x≥ 2)。

剖析:(1)的解答是正确的。(2)的解答中忽视了直线A B斜率不存在的情况,从而出现A·无最小值的错误结论。错解中应补上“当A B⊥x轴时,x1=x2,从而y1=-y2,所 以·=x1x2+y1y2=x21-=2,则·的最小值为2”。

警示:在直线与双曲线或抛物线位置关系的研究中,设出直线方程,然后将直线方程和曲线方程联立组成方程组,消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程。利用根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系,凸显“设而不解,整体思维”的特点,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形的讨论。如本题忽略斜率不存在导致无最小值的结论。

易错类型5——“点差法”求解与弦中点有关问题时忽略相交的前提条件

例5 已知双曲线x2-=1,过点B(1,1)能否作直线l,使l与所给双曲线交于两点M,N,且B为MN的中点?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由。

错解:设M (x1,y1),N (x2,y2),MN的中点B (x ,y),MN的斜率为k,由题设可知-y=1-=1,两式相减得(x1++x=2,y+y=2代入,有=k=2122,这说明直线的斜率为2,即y=2x-1为直线l的方程。

剖析:把y=2x-1代入x2-=1,整理得2x2-4x+3=0,Δ=1 6-4×2×3＜0,所以此方程无实数根,即M,N根本不存在,不存在这样的直线l,上述错误的原因是忽视直线和双曲线相交的前提。

正解1:在错解的基础上补充:y=2x-1代入x2-=1,整理得2x2-4x+3=0,因为Δ=1 6-4×2×3＜0,只能说明y=2x-1不满足。还得研究x=1能否满足,显然过B点垂直x轴的直线也不符合题意,则不存在。综上,这样的直线不存在。

正解2:用通法,显然过B点垂直x轴的直线不符合题意。只考虑有斜率存在的情况。设l的方程为y-1=k(x-1),代入双曲线方程x2-=1,整理得 (2 -k2)x2-2k(1 -k)x-k2+2k-3=0。设M(x1,y1),N(x,y),则有x+x==2,解2212得k=2。由直线与双曲线必须有两不同交点,所以Δ=4k2(1 -k)2+4(2 -k2)·(k2-2k+3)＞0,把k=2代入得Δ=-8＜0,故不存在满足题意的直线l。

正解3:以形助数,作出双曲线和渐近线,对于渐近线与双曲线围成的区域内的任意点,过该点且以该点为中点的双曲线的弦均不存在,而点(1,1)恰在渐近线与双曲线围成的区域内,故不存在满足题意的直线l。

警示:“点差法”揭示了弦的斜率可以用弦的中点的横、纵坐标来表示。凡涉及弦的中点等有关问题都可选用“点差法”简化求解。但用此法必须以直线和圆锥曲线相交为前提,否则就会出错。

(责任编辑 王福华)