倒过来思考 让思维更流畅*——学习《做数学是倒过来的》一文有感

崔志荣

(江苏省东台市安丰中学 224221)

1 精彩再现

近日，在网上学习了一篇文章《做数学是倒过来的》，该文是中国科学院院士林群在2009年“翱翔计划”启动会上的科学家报告，文章着重讲述了，数学的思维与用处.读罢此文，感触颇深，尤其是林院士介绍的“笛卡尔发现四面体重心的思维过程”，特别有意思，以下与读者再来回味这精彩的思维过程.

大家思考一下这个问题：任意一个四面体的重心在哪儿？笛卡尔说，这个问题太难了，谁能猜出来重心在哪里？笛卡尔的想法是，虽然搞不清楚“任意四面体的重心在哪里”，但可以想象将它的一个顶点压低一点，再压低一点，一直压到底面内，四面体就变成了三角形.如果任意四面体的重心不会求，把它压成一个三角形，三角形的重心会求吧？笛卡尔是个很“笨”的人，他说，这个我也不会，三角形是各种各样的，有大有小、有胖有瘦，不同形状的三角形重心会在什么地方呢？这个问题，笛卡尔也不会.但是他想，把三角形的一个顶点往下压，直到把这个顶点压进另一条边内，这样一个三角形就变成了一条线段，笛卡尔又问：一条线段的重心在哪儿？是在中点上.所以你看，笛卡尔他很“笨”，看到一个问题他不懂，就会追根到底，一定要搞个水落石出.当他把任意一个四面体变成一条线段的时候，他说，这个问题我会了，线段的重心是在中点上，用他的话说，这是一个挑扁担的农夫都知道的.如果这个会了，我就知道任意三角形的重心在哪儿了，一个三角形可以认为是由一根一根长短不一的火柴棍摆起来的，每一根火柴棍就是一条线段，由于每根火柴棍的重心都在它的中点上，所以整堆火柴棍组成的三角形的重心就在三角形的中线上，因此笛卡尔就说，一个三角形的重心一定在一条中线上.这个大家同意吧？你看，笛卡尔多“笨”啊，只有这样讲他才懂.然后，他分别以三角形的三条边为底摆火柴棍，就有由火柴棍的重心组成的三条中线，由于三角形的重心是唯一的，因此三条中线必须交于一点.于是，笛卡尔就把这么一个复杂的问题，一下子变成了“一条线段的重心何在”、“一个三角形的重心何在”的简单问题了，事实上，这就已经从直观上发明了“三角形的三条中线交于一点”的定理.

这样的证明，我们一辈子都不会忘记.但如果从平面几何公理出发证明，你们刚刚学过能记住，等你们大学毕业，保证就忘光了.笛卡尔的发明方法使你一辈子都能记住，因为你不靠死记硬背，笛卡尔不仅告诉你定义、定理的证明方法，还会告诉你发明的方法.从他的发明，就知道三角形三条中线一定交于一点，这个点就是三角形的重心，而四面体可以被看作是以四面体的一个面为底，由一个一个的三角形向上堆起来的，每个三角形的重心连成了一条线，而分别以四面体的四个面为底面堆三角形，就有四条由重心连成的线，这四条线交在一点上，这个点就是四面体的重心.你看这个问题多简单！原本多复杂的一个问题一下变成了一个多简单的问题了，把一个科学家只有绞尽脑汁才能想出来的问题，变成了一个农夫就能解决的问题了.

以上笛卡尔这种倒过来做数学的方法，实际上就是特殊化思维，四面体的极限情况是三角形，三角形的极限情况是线段，然后，通过线段的重心反思三角形的重心，再由三角形的重心反思四面体的重心.这正如我国著名数学家华罗庚教授所讲，善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个决窍.

2 问题反思

数学大师们的这种倒过来做数学，退到最简单情形思考的思维方式，对我们中学数学的教与学，应有深刻的指导意义！然而，笔者在思考，我们中学教师有没有用心去启迪学生的这种特殊化思维方式呢？我们的学生是否善于运用这种思维方式去解决数学问题呢？值得疑问.比如，两角差的余弦cos(α-β)公式的教学，我们有没有真正引导学生倒过来做数学，让学生自主发现公式呢？也许有教师说，该公式的生成，我们充分引导学生思考，以学生探究为主，而后生成公式.那好，如果在高考中，出这样一道题：谈谈两角差的余弦cos(α-β)公式的发现过程，并证明.高考后，会不会骂声一片呢？2011年陕西高考数学试题：叙述并证明余弦定理.还没有要求考生研究公式的发现过程，就被骂得不轻.

另外，纵观两角差的余弦cos(α-β)公式的新授课，读者有没有注意到，绝大多数课是20～25分钟完成公式的生成，然后是公式的运用.很显然，学生自主探究，不可能这么快发现公式，他们都比那些数学先辈们聪明？其实是我们教师过度引导所致，是学生已经预习过公式，假探究而已，没有充分让学生倒过来做数学.文[2]作者提出，不预习的课堂也很精彩，笔者非常认同，让学生进行本真探究，真正还原公式的发现过程，恐怕学生一节课也未必探究得出来！让学生课后继续思考，并把探究过程以及证明方法整理成数学小论文，第二节课再继续交流，那才能算接近真实的探究！

3 案例分析

上文说明，退到最简单情形，倒过来做数学，学生(包括我们教师)其实悟得并不深.类似的一些其他倒过来做数学的方法，我们也同样有问题，以下笔者试举一些案例，以此说明要加强倒过来做数学的解题意识，并需要切实用到教学中去.

3.1 分析法

案例1已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)(x1

案例2若方程lgx=3-x的解x0∈(k,k+1)，k∈N+，则运用二分法可得x0所属的下一个区间为__________

易分析，方程对应的函数f(x)=lgx+x-3单调递增，又计算得f(2)<0，f(3)>0，所以x0∈(2,3)，运用二分法，应计算f(2.5)=lg2.5-0.5的正负，怎样判断其正负呢？很多学生想到的是计算器，却很少有学生倒过来想，要得f(2.5)的正负，即比较lg2.5与0.5，即比较2.5与100.5，即比较2.52与10，即比较6.25与10，很容易得到lg2.5<0.5.这种倒过来的比较方法，其实就是分析法的思路，此例再次说明，用分析法倒过来做数学，中学师生的意识还是比较薄弱的！

3.2 反证法

有些证明题，难以由条件直接推理证明出结论，可以反设结论，由此推理出与条件、定义、定理等矛盾，这种证明方法叫做反证法.反证法也是一种倒过来做数学的典型方法，一些否定性结论，结论是“至多”、“至少”类的问题，常用反证法.还有一些不等式的证明，也可以用反证法，反设结论的不等方向找矛盾.其实，也有一些非证明问题，也需要采用反证法的思路，倒过来做数学，思维才得以顺畅.

案例4已知A,B,C三人中，有一人是真理，他总说真话；有一人是谎言，他总说假话；还有一人是智慧，他的话真假难辨.以下是他们表明自己身份的话，你能判断A,B,C的身份吗？

A说：B是真理；B说：我是智慧；C说：B是谎言.

推理判断问题，其实也需用反证法的思路，先确定一个结论进行推理，有矛盾再转换结论，直至所假设结论与条件都相容为止.这也是倒过来做数学，直接由条件难以推理出结论，先假设一个结论，再推理，就思维畅通了.案例3，若假设A是真理，而真理总说真话，所以B是真理，矛盾；若假设B是真理，但他又说“我是智慧”，也矛盾；所以C是一定真理，那他说的一定是真话，所以B是谎言，所以剩下的A就是智慧了.

3.3 尺规作图

案例5如图1，在同一平面内，点A,B是直线l异侧的两点，试用尺规作图在直线l作出点P，使得直线l平分∠APB.

图1

图2

案例5是笔者上初二的女儿问的一道题，说句老实话，教高中数学，长期不接触尺规作图，受经验所制约，还就不能立即看出作图方法，怎么办呢？我们可以运用倒过来做数学的思路，假设已经作出点P(如图2)，连接AP,BP，这时思维就自然流畅了，我们可充分运用角平分线的相关知识，如角平分线的性质定理、等腰三角形的三线合一、利用角平分线构造全等三角形等等，试图发现图形的一些性质，由此笔者发现了，过点B作直线l的垂线交AP于点B′，由三角形全等可知，直线l垂直平分线段BB′.如此思考，笔者最终找到了尺规作图的方法：过点B作直线l的对称点B′，连AB′交直线l与点P，点P即为所求.笔者把自己的思路分析给女儿听后，她说，爸爸还有点聪明哎！其实，不是聪明不聪明的问题，是数学思想方法的运用，是分析出来的！

4 学习感悟

通过对林群院士这篇文章的学习、反思、以及一些案例的分析，结合中学数学教学，笔者有两点想法，与读者交流.

(1)启迪思维是数学教学的重要任务.我们常听很多人抱怨，学习数学有什么用呢？包括笔者以前也曾质疑过，社会很多职业并不需要太多数学知识，我们为什么要所有中小学生都学习数学呢？让少数数学优秀的学生学习数学，为一些高尖端的科学技术服务，不就行吗？笔者当时的认识错了，把数学教学仅局限于数学知识的传授.其实，数学教学的任务是多方面的，需要学生掌握数学思想方法、需要启迪学生的思维，引导学生学会思考问题等等.文[3]作者谈到，数学素养包括：数学思考与推理等.确实如此，像林群所讲的“倒过来做数学”，就是一种思维方式，学生需要学习并掌握这种逆向思维，在他们将来的社会活动中思考问题，大有裨益！比如，从事刑侦的警察，就要有很强的推理能力，他们需要根据案发现场、受害者的陈述等，寻找破案线索，这种抓住结论(案发现场)的逆向推理，就有点类似于我们倒过来做数学.我们生活社会上，会遇到不少问题需要解决，当然离不开思考，学生时代学习的数学思维方式，自然会有潜移默化的影响.

(2)重视数学思维的感悟教学.本文所讲的倒过来做数学，只涉及一些重要的思想方法，如特殊化、分析法、反证法等.也许有读者会认为，这些方法都很常规，学生不难掌握，有必要大张旗鼓地谈论这个问题吗？上文问题反思中，谈到cos(α-β)的展开式.有多少教师能保证，你所教过的学生能顺利说出公式的发现思路及具体的发现过程呢？上文案例1，只有一名学生想到分析法，不能不说明，我们这方面的教学还或多或少存在一些问题.现行教材专门有一章内容《推理与证明》，研究本文所涉及到的方法，当时的新授课是不是快了，学生理解并不深刻？除了这章内容，我们解决问题的视角是不是窄了，这类方法用得少了？即使用到这些方法，我们是不是引导过度，学生缺少思考感悟、缺少过程处理的体验呢？ 其实，我们不能把这章内容作为知识学习，而应该教会学生思考，运用这些重要的思想方法去解决问题，不能仅仅限于这一章内容的教学，而应该渗透到整个高中数学教学中去(包含这章内容之前，比如分析法，教材上基本不等式的证明，就已经运用了)，让学生充分思考这些方法的运用，让学生充分感悟这些思维方式！

此外，作为数学教师，我们要提升专业素养，加强对数学的理解和认识，不能只教课本上的死知识，而要关注知识的生成与理解；不能就题解题，而要多与学生探讨问题的本质；不能仅是题型与方法的简单归纳，而要多启迪学生思维，引导学生多视角思考问题、多角度思考方法.