四版本高中数学教材“统计与概率”内容比较研究

覃淋

摘 要：以教材中“统计与概率”内容为研究对象，对中国大陆、日本、中国台湾三个地区四个版本高中数学教材进行比较研究。通过研究，得到以下结论：（1）在知识点数量上，台湾教材是最多的，其次是人教A版，原人教版教材知识点最少。（2）除台湾教材外，另三种教材都是概率的内容多于统计内容。（3）从四种教材对知识点的处理看，中国教材更追求定义的严格性，日本教材比较注重数学科学内部知识的联系，强调数学是一个整体。

关键词：数学教材；统计与概率；比较研究

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2017）35-0018-05

一、引言

统计与概率的基础知识已经逐渐成为一个未来公民的必备常识。从我国数学教育改革的趋势来看，对“统计与概率”的重视逐步加强。1996年大纲的选修部分首次引入；2000年，以古典概率概念为考点，统计学正式进入我国高考数学试题考察范围； 2004年新课程改革进一步强调了对中学概率统计知识的重视；直到今年提出的六大数学学科素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析，将统计意识推向新高度。

从国际数学教育改革的趋势来看，“统计与概率”在各国中小学数学教学内容中占据的地位同样越来越重要。以《美国州际核心数学课程标准》（2010）为例，其高中数学部分包括的“统计与概率”内容有：解释分类数据和量化数据；做出统计推断，说明结论的合理性；条件概率和概率的计算法则；用概率做决策。再如国际上著名的TIMSS测试、PISA测试，它们的内容测试框架中都包含了“统计与概率”的内容。如PISA（2015）测试中的第二部分——数学内容知识，包含了变化与关系、空间与图形、数量、不确定性和数据。依据国际国内对数据分析技术依賴程度与日俱增的学科现象，笔者预见“统计与概率”知识在基础教育中的受重视程度还会继续增加。

近年来，中小学数学教材的比较研究已成为数学教育研究的一个热点。然而多数研究都集中在代数、几何、三角、向量和微积分等方面，针对“统计与概率”部分的研究成果相对少得多。而“统计与概率”作为我国新课程改革中变化较大的内容之一，同时其思维方式又和传统的代数、几何等内容有所不同，是数学教育研究中需要给予更多关注的一个知识领域。因此，本研究以中国大陆、日本、中国台湾三个地区四种教材版本（原人教版、人教A版、日本数研版和台湾南一版）的“统计与概率”知识体系作为研究对象，希望能为教材编写、教师备课提供一些参考。

二、研究对象及内容

为了从时间和空间纵横两方面动态展示我国大陆地区数学教材的特点，笔者确定了表1中所列的四种教材。

表1 教材样本及基本信息

（一）四种教材统计概率部分知识广度的比较

笔者整理四种教材关于“统计与概率”知识体系构成如表2（“+”表示有此知识点，“—”表示无此知识点）。（见附表）

就高中数学而言，概率论知识有：概率及其基本性质、随机变量及其分布，随机变量的数字特征、条件概率和一些常见的概率分布等。统计知识分为收集数据和分析数据两方面，前者是抽样调查，包括随机抽样方法等内容；后者是统计推断，包括估计、假设检验、相关分析、回归分析等。

从表2可以看出，粗略整理四版教材共涵盖46个知识点。从知识点数量上看，中国台湾高中数学教材包含的知识点数量最多，达38个；其次是人教A版教材，有33个，然后是日本高中数学教材，涉及的知识点数量为31个，最少的是原人教版，仅有25个知识点。此外，笔者计算各教材关于统计与概率两部分各自所占的比重如图1的所示：

图1 四种教材中知识点“概率”和“统计”各占的比重

从四种教材中统计、概率各自的知识点数量来看，人教A版中统计、概率知识点数量分别为19、14；原人教版中统计、概率知识点数量分别为12、13；日本教材中统计、概率知识点数量分别为18、13；台湾教材中统计、概率知识点数量分别为19、19。除台湾教材外，其余三种教材的倾向是一致的，就知识条目而言重视概率超过统计，台湾教材统计和概率各占一半。由图1可知，日本教材中统计和概率的知识点各自所占比例分别为41.94%、58.06%，相比中国教材，日本教材更重视概率。比较中国大陆的两种教材知识覆盖角度上可以发现，统计部分虽然在知识点的数量上有所增加，所占比例却减少了。当然，这不完全代表教学实践的力度。

为进一步比较四种教材的不同之处，我们统计了四种教材具体知识点的差异，详见表3。

依据表3可以发现日本教材和台湾教材在内容上是比较接近的。大陆教材中有些独有内容，如系统抽样、几何概型、超几何分布、假设检验等，其他两种教材都没有涉及；而日本教材和台湾教材都包括的如标准正态分布、连续性随机变量的概率密度函数、随机变量的和与积、样本空间等内容则大陆教材未涉及。

表3 四种教材知识点异同的总结

说明：表中的“T→ZA”表示台湾教材有，而人教A版教材没有的知识点，其它类似。

A版和原人教版教材相比，首先在知识点数量上有所增加。进一步，从知识体系的建立过程比较，原人教版在“统计与概率”部分知识的顺序是“概率→概率→统计”，人教A版的顺序是“统计→概率→概率→统计”——这是两个版本教材非常显著的一个变化，笔者分析认为这是教材和课堂教学随着“生本”理念推行所做的改进——统计学知识内容更贴近学生的生活实际，更有助于教学过程的导入和输出——既利于学生接受教材，又便于促进学生从书本回归实际应用。

（二）四种教材在知识点细节处理上的比较

从教材的具体内容来看，大陆教材对有些知识仅仅列出名称简单加以介绍而已。如“二项分布”，A版教材用了3页来介绍，和原人教版相比，内容丰富了一些；台湾教材则用了整整一节详细讨论，并利用Excel来对二项分布的性质做了非常细致的讨论；日本教材讨论的内容和中国教材基本一致，只不过在正态分布一节讨论了二项分布与正态分布的关系。大陆的两种教材对一些重要却比较难的内容都没有介绍，如大数定律、中心极限定理、贝叶斯公式。endprint

从内容表述看，日本教材比较注重数学科学内部知识的联系，更强调数学知识是一个整体，这和其课程目标中提到的“通过数学活动，加深对数学基本概念、原理、法则体系的理解”是一致的。下面以“随机抽样”和“数据分析”两种分内容为例具体讨论。

1.随机抽样

在“随机抽样”这一内容的处理上，四种教材有着较大的差异

首先，人教A版教材中，随机抽样的内容是放在必修部分的，而在中国台湾教材、原人教版和日本教材中，这一部分内容是放在选修教材中的。

其次，从四种教材介绍的内容看。中国的两种教材都分别介绍了三种随机抽样方法：简单随机抽样、系统随机抽样、分层隨机抽样。中国台湾教材在介绍总体和样本后，介绍了非概率抽样法、简单随机抽样和分层随机抽样。日本教材对此部分涉及的内容最少，在介绍总体和样本的定义后，只通过一个实例介绍了随机数表法。

最后，从四种教材的处理方式来看，大陆教材对随机抽样这一内容非常重视，A版教材和原人教版都专门用了一节内容来详细讨论了三种随机抽样方法。对于每一种抽样方法都给出了比较严格的定义，并给出实例。相比而言，原人教版更追求概念的严格性，比如在介绍系统抽样时，A版教材是通过实例来说明什么样的抽样方法是系统抽样。原人教版则给出了较明确的定义：“将总体分为几个部分，然后按照预先给定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需的样本，这种抽样方法叫系统抽样”。再通过例子来介绍系统抽样的操作过程，然后指出了系统抽样和简单随机抽样的联系。在介绍完分层抽样后，两种大陆教材之间同样存在一些变动——人教A版是让学生通过探究的形式，比较3种随机抽样方法的特点及适用范围，而原人教版则是直接列表总结了三种抽样方法的各自的特点、共同点及适用范围。但两种教材都没有进一步介绍对样本统计量分布的处理，如样本均值的分布。

日本教材在简单的介绍随机数表抽样法后，还讨论了样本均值的分布。台湾教材样本处理细致程度介于二者之间，先介绍非概率抽样方法，以此引入概率抽样法（简单随机抽样，分层随机抽样），然后通过实例讨论了简单随机抽样法和分层抽样法的特点，最后还介绍了随机数表。

2.数据分析

统计学主要包括两部分，收集数据和分析数据。在得到数据后，就要对数据进行处理。样本数据可进行单变量（描述性统计量）与多变量分析（相关性分析）。

首先，从四种教材涉及的内容看，台湾教材的内容是最多的，主要有：算术平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差、数据的标准化；散点图、相关系数、最小二乘法、回归直线。日本教材主要内容有：平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差、四分位数和箱线图；散点图、相关关系、相关系数。A版教材主要有：直方图、平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差；散点图、线性相关、最小二乘法、回归直线。就这一部分而言，从内容上看台湾教材和大陆教材是比较接近的，只是内容比大陆教材更为深入一些。

其次，从四种教材对内容的处理方式来看， A版教材用了2节分别来介绍这两部分内容。首先介绍了利用样本的频率分布估计总体分布和用样本的数字特征（平均数、众数、方差等）估计总体的数字特征，并未引入极限定理、置信区间等内容来说明怎样对“样本估计总体”的可接受性作出判断。教材也仅从感性经验说，“可以用样本平均数和标准差去估计总体的平均数和标准差，只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的。”但这个“好”的标准是什么，怎样去刻画？教材则没有提及。接着另用一节内容讨论了“两个变量的线性相关”。原人教版涉及的内容最少，先介绍了“用样本频率去估计总体分布”，然后介绍了线性回归分析的内容。

日本教材、中国台湾教材都专门用了一章来讨论，日本教材用了21页，台湾教材则用了44页。日本教材先介绍了一些描述性统计量，如均值、众数、中位数、极差、方差等，然后讨论了两变量之间的相关关系，最后介绍了用Excel来计算这些描述性统计量和相关系数。台湾教材的处理与此接近，在介绍了单变量数据分析的描述性统计量后，讨论了双变量数据分析，利用最小二乘法计算回归直线，最后和日本教材一样介绍了利用Excel计算一些描述性统计量。

三、结论与建议

（一）结论

通过对原人教版、人教A版、日本数研版和台湾南一版高中数学教材中“统计与概率”的比较研究，得出了以下结论：

1.在知识点数量上，台湾教材是最多的，其次是人教A版，原人教版教材知识点是最少的。人教A版较原人教版而言，从内容到形式都有所改进。从教材选择的内容看，台湾教材涉及的统计概率知识面也是最广的，其次是日本教材。

2.除台湾教材外，另三种教材都是概率的内容多于统计内容。从教材呈现的内容来看，日本教材和台湾教材比较接近。人教A版较原人教版而言，统计概率的知识点数量都有所增加，但统计知识点数量增加的幅度比概率部分小。

3.从四种教材对知识点的具体处理来看，大陆教材对有些知识点仅列出名称简单的介绍，如正态分布、二项分布；对知识点的处理上，大陆教材更追求定义的严格性，日本教材则比较注重数学科学内部知识的联系，强调数学是一个整体。

（二）建议

1.知识点的安排应当注意知识体系的连续性和整体性

统计概率的内容不是孤立存在的，数学的各个分支是一个不可分割的有机整体，使用着相同的逻辑工具，存在的概念间的亲缘关系。弗赖登塔尔也多次强调，不要教孤立的片断，要教连贯的材料，因为有联系的事物学得快，记得牢。然而在我国目前的实际教学和教材编写过程中常将数学按学科分支领域或模块划分，将统计概率作为独立的内容。

2.加强与现实生活的联系

我国“统计与概率”非常注重对统计过程的体验和统计思想方法的理解，相对忽视了“统计与概率”思想在现实生活中的应用，教材中仍然存在应试教育体制遗留的种种缺陷。数学来源于现实，存在于现实，并应用于现实。现实的数学除了不同学科之间的联系外，还要考虑与现实世界的联系。“统计与概率”作为数学中应用性较强的内容，更应该联系“生本”的实际生活来促进学生的学习，加强学生的应用意识，这样学生才有可能利用所学知识去分析和解决实际问题。

3.引入数字化应用程序

如前面提及的，日本教材和台湾教材都专门用了相关材料来介绍怎样利用统计软件计算一些描述性统计量，如均值、众数、中位数、极差、方差以及回归直线、相关系数等的计算。在中国教材中，除了介绍利用科学计算器计算一些描述性统计量和在“变量间的相关关系”一节中简单介绍了利用Excel来计算回归直线外，对于计算机其它更重要的作用没有涉及。

实际上，在“统计与概率”的教学过程中，计算机的使用是很有益的，除了作为计算工具，更重要的是利用计算机进行模拟实验，可以帮助学生将概念可视化、可操作化，通过计算机模拟来发展学生对抽象概念的理解。以蒲丰投针为例，这样的实验完全可以通过计算机模拟来实现，而不是让学生分组试验，把大量的时间花在观测重复的投针活动中。

【责任编辑 冯梦阳】endprint