高中数学教材潜在价值的挖掘

魏敬波

摘 要：教师回归教材、重视教材，既要透彻理解教材中的基础知识，还要注重挖掘基础知识（显性知识）中蕴含的数学基本技能及数学思想方法；同时发挥教材的引领作用，培养学生学习数学的兴趣和良好的个性品质，让学生在数学学习中获得成长。

关键词：教材；隐性知识；价值；挖掘；研究；兴趣；个性品质

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2017）35-0015-03

随着新课程改革逐步深入，数学教学中三维目标的达成在核心素养与数学学科素养的理念下得到了继承和发扬。为确保学生获得良好的数学学科素养发展，教师不仅要注重教材中显性知识的教学，还要重视数学基本技能及数学思想的渗透；发挥教材知识引领作用的同时，培养学生学习数学的兴趣。

一、重视教材中已经明确提出的问题

教材每章之中都有大量的“思考”“？”“探究”之类栏目，是教材主体内容的延伸和补充，也是教师挖掘教材隐性知识、在课堂上渗透数学文化的重要渠道之一。教师在教学中应引导学生主动地参与到对这些问题的思考和解答的过程中，让他们形成自己的观点之后合作交流，通过严谨的逻辑推理获得相应的数学结论。教师尊重学生在教学中的主体地位，首先体现在懂得给学生提供思考和探索的空间，让学生通过切身经历来体验、发现和创造，学生独立完成从未知到掌握的过程才能享受解决问题带来的愉悦，进而激发继续学习的兴趣和欲望。

就笔者教学经验而言，学生探讨过程会存在得不出结论或结论不全面、不准确，解法不够优化以及表述不清楚等问题。遇到这类情况教师要始终把自身角色定位于引导者、参与者、合作者，因势利导地进行点拨和启发；将结论直接告诉学生只能助长学生依赖心理，打消自主探究的积极性。师之为教，不在全盘授予，而在相机引导。笔者作为一线数学教师，认为将培养学生问题意识始终作为数学课堂教学的重点，最能促进学生思维全面地健康发展。同时，引导学生关注知识间的关联，促进学生逐渐形成善于质疑、乐于探究、努力求知的积极态度以及激发自己勇于探索的精神。

二、例题习题的合理运用

（一）变式训练培养学生思维的广度

例题习题经过变换条件或形式得出新题，可以由一题变多题，引导学生对问题的理解步步深化，从而多层次、多角度地思考、研究，培养学生发散思维。

如笔者在讲授人教A版《数学（必修⑤）》“一元二次不等式及其解法”一节，习题3.2A组第3题：若关于x的一元二次方程x2-（m+1）x-m=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围.该题可作为对二次方程根的分布问题的简单讨论的出发点，将二次方程、二次函数的图象、二次不等式有机地联系起来。不妨设计如下变式练习：

变式1——若关于x的一元二次方程x2-（m+2）x+4=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围.

变式2——若关于x的一元二次方程x2-（m+2）x+4=0没有实数根，求m的取值范围.

变式3——若关于x的一元二次方程x2-（m+2）x+4=0有两个不相等的正根，求m的取值范围.

变式4——若关于x的一元二次方程x2-（m+2）x+4=0有两个不相等的负根，求m的取值范围.

变式5——若关于x的一元二次方程x2-（m+2）x+4=0，两根均在（1，5）内，求m的取值范围.

学生通过学习一道题掌握一类题，乃至触类旁通在未来能够更从容应对未知事物，才是核心素养在教学实践中得到发展的最好表现。

（二）注重学科知识内在联系

例题习题中蕴含教学价值的是数学方法——连接知识和实践的桥梁。教师在课堂教学中还要注重学科内的知识联系，学生经过回顾、探索、总结，培养自身思维的灵活性和概括性。

如人教A版《数学》（选修2-1）“椭圆的简单几何性质”一节练习第7题、“双曲线的简单几何性质”一节例6、“抛物线”一节练习第3题，都是圆锥曲线求弦长问题——常规解法就是先求出交点坐标，再求两点距离；但教材复习参考题A组第8题：斜率为2的直线l与双曲线 - =1交于A、B两点，且AB=4，求直线的方程.本题只需求出直线的纵截距，显然延续上述解题思路会使得运算过程将相当繁琐。教师应当引导学生利用根与系数的关系设而不求，将两点间距离公式化为两根之和与积的形式，进行巧解，从而落实对数学方法的渗透。

（三）开放性习题培养学生探究能力

学习最好的途径是亲自去发现，最富有成效的学习是自己去探索、去发现。

例如人教A版《数学（必修④）》“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”一节中习题3.1B组第3题：已知，

sin230°+cos260°+sin30°cos60°= ，

sin220°+cos250°+ sin20°cos50°= ，

sin215°+cos245°+ sin15°cos45°= .分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正確性作出证明。本题是开放型问题，目的在于激发学生的奇思妙想和智慧火花，因此教师在课堂中切不可令学生探究的过程和结论拘泥于形式和标准。大多数学生解答本题得出相同形式的结论：sin2α+cos2（α+30°）+sinαcos（α+30°）= .但当此之时，教师务必继续发问：大家还能写出其它形式吗？学生进行更深入思考可以整理为：

sin2（α+30°）+cos2α+sin（α-30°）cosα= ，sin2（α-15°）+cos2（α+15°）+sin（α-15°），cos（α+15）= ，sin2α+cos2β+sinαcosβ= （其中β-α=30°）等等，紧接着再让学生逐一证明上述变式，由浅入深。开放性题目，使学生经历了一番猜想、归纳、证明的过程，自然加深对知识的理解和记忆，享受发现的快乐，激发学习的兴趣，培养自身思维的深刻性。endprint

三、“用教材教”

數学教材是学生学习本学科知识的最主要载体。其中，定理是需要深刻理解和掌握的基础知识，最具有“示范”功能。定理的推导过程或证明思路是最值得推广和借鉴的经典方法。

如等比数列的前n项和公式的推导利用了错位相减法，其中还包含了分类讨论的思想，这两种方法都是高考中经常考查的考点。再如二项式定理的推导过程，也是学生应当掌握的基本方法。以1992年的一道高考选择题为例：

在（x2+3x+2）5展开式中x的系数为（ ）

A.160 B.240 C.360 D.800

常见思路直接展开计算或先因式分解再展开，于是问题转化为（x+1）5（x+2）5中x项的系数，即需要分别得到（x+1）5与（x+2）5两个展开式中的一次项系数与常数项再求和，其计算过程依旧繁琐。如果回归推导二项展开式的一般方法，（x2+3x+2）5=（x2+3x+2）（x2+3x+2）（x2+3x+2）（x2+3x+2）（x2+3x+2），其展开式一次项必须从五个因式中任取一个一次项3x，有C 种取法；另四个因式取常数项2，有C 种取法；C 3x×C 24=240x，故选B.而2015年高考数学全国Ⅰ卷第10题，再次考察了这种经典思路。

四、强调数学的科学价值、文化价值、艺术价值

（一）发挥章头图、引言的导学功能

教材中章头图的选材，贴近生活，往往与学生生活背景相关的素材与情景以及社会生活中学生熟悉的题材有关。如必修⑤第二章《数列》画了树木的分支、向日葵花盘、美丽的花瓣，第三章《不等式》中“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的崇山峻岭和成抛物线状的熔岩喷射现象等，体现了“数学源于生活又服务于生活”的特点，让学生知道生活中处处有数学，培养学生运用数学知识解答实际生活问题的意识及树立学好数学的信心。同时，章头图本身就给人一种美的享受，体现学科的美学价值。

每章开始部分利用引言直述内容或通过问题介绍学习本章的必要性和重要性，不仅仅促进学生对本章有初步认识和了解本章的大致内容及重要的数学思想方法，更有助于引发学生的急切想学好本章节内容的欲望，激发学习热情，增加学生对这门课的兴趣。

（二）重视阅读素材，培养人文素质

教材中的阅读材料同样是不可忽视的内容，帮助学生树立学好本章的信心。

1.这部分内容中往往蕴含着丰富的数学文化和数学史内容，涉及知识的由来与发展，数学与数学家的故事，数学的应用以及思想方法等。不但可以丰富教学内容，开阔学生视野，而且可以让学生体会知识的发现、发展过程，深刻地理解重要数学概念存在至今的意义和价值。

2.通过这部分内容让学生感受到众多科学家和数学家严谨踏实、不畏艰难、追求真理、敢于创新的科学精神，从中受到启示和教育，树立高尚的科学道德；同时养成实事求是、说理、批判、质疑等理性思维的习惯。尤其通过介绍我国古今数学家的成就，接受传统文化知识熏陶，培养学生的爱国主义思想、激发学生的民族自尊心、自信心。

3.这部分的内容能够激发学生的好奇心与求知欲，给学生提供动手实践操作的机会，提高学生的动手实践操作能力和应用意识，使学生体验数学发现的乐趣，收获成功的历程。改变“以提高考试成绩为唯一目的的数学学习”，以提高学生数学素养。

通过挖掘数学教材中隐性知识及其价值，不仅培养了学生的探究兴趣，更重要的是学生在课堂上有了参与的空间和时间，真正体会到学习过程的快乐。

【责任编辑 冯梦阳】endprint