漫谈初中数学解题中的“反证法”

王玉琴

一、“反证法”解题方法

在解题中，反证法一般分为三步：1.提出假设：做出与所要求证的结论相反的假定。2.推理求证：由“假设”出发进行推理，得出与定义、定理、公理或与题设相矛盾的结论。3.得出结论：根据“矛盾”得出假设不成立，原求证结论正确。反证法的步骤好理解和掌握，关键是要反设正确，在结论的方面呈多种情况或比较隐晦时，在反设时就比较困难，现将其中常用的互为否定形式词语总结如下：

其中，在至少有一个、至多有n个、至多有一个等证明结论的反设上，需要更为细心的琢磨，让学生明白一个也没有、至多有二个、至多有n个的深刻含义，从而顺利进行证明。反证法的使用，使得一些数学试题的解决简单便捷。

二、“反证法”例题展示

1.定理性命题的证明

在数学的基本定理中，利用“反证法”来证明，更便捷、具有说服力。

案例1：勾股定理的证明

如图所示，在直角三角形△ABC中，∠C=90°，三个边长分别为a、b、c，求证：c2=a2+b2.

证明：过C点作斜边AB上的垂线于D，假设a2+b2 ≠ c2，即AC2+BC2≠AB2，根据三角形的中垂线定理可得：

AB2=AB·AB=AB（AD+BD）=AB·AD+AB·BD根据假设又知：AC2≠AB·AD，BC2≠AB·BD即AD：AC≠AC：AB，或者BD：BC≠BC：AB，在△ADC和△ACB中，因为∠A=∠A，则当AD：AC≠AC：AB时，∠ADC≠∠ACB；在△CDB和△ACB中，因为∠B=∠B，则当BD：BC≠BC：AB时，∠CDB≠∠ACB，又因为∠ACB=90°，所以∠ADC≠90°，∠CDB≠90°，这与CD⊥AB是矛盾的，所以AC2+BC2≠AB2不成立，则有：AC2+BC2=AB2，即c2=a2+b2

2.無限性命题的证明

“无限”、“无穷”等概念，往往出现在求证命题中，正面证明缺乏一定的头绪，而“反证法”使得解题变得非常简单。

案例2：求证，0与1之间存在着无穷个有理数。

证明：假设0与1之间有n个有理数，分别为a1、a2、a3…an。那么将这些有理数相乘可以得到b=a1·a2·a3·…·an，根据有理数的积仍为有理数可得，b也应该是0到1之间的有理数，故可以推导得出，在0到1之间有n+1个有理数，这与题设相矛盾，所以，在0与1之间存在着无穷个有理数是正确的。

3.唯一性命题的证明

初中数学有些“唯一性”的证明问题，只要利用“反证法”证明出不能再有第二个就可以了。

案例3：如图所示，⊙O上的一条弦CD，做CD的延长线到A，直线AB交于圆上一点为B，且AB2=AD·AC，证明：AB与圆相切。

证明：假设AB与圆不相切，则AB与圆相交，与圆有两个交点，分别为B、B两点，根据切割线定理的推论，有AB·AB=AD·AC，即AB·（AB±BB）=AD·AC，解得AB2±AB·BB=AD·AC从上式可以看出BB≠0，这个结论与题中的已知条件AB2=AD·AC相矛盾，故B点存在，AB与圆只有一个交点，即AB与圆相切。

4.肯定性命题的证明

初中数学中常见一些“肯定性”的命题，否定的假设给了学生新的思路。

案例4：如图所示，已知正方形ABCD内一点E，∠ECD=∠EDC=15°。求证：△AEB为等边三角形。

证明：假设△AEB不是等边三角形，则有∠AEB>60°（或∠AEB<60°）因为，∠ECD=∠EDC=15°，则有△CED为等腰三角形，∠ACE=75°，AE=BE。则有∠2=∠3<60°（或∠2=∠3>60°），所以AB>AE，有AC>AE=BE，得出∠1=∠BED>∠ACE=∠BDE=75°，又因为∠DEC=150°，所以可以得出∠1+∠AEB+∠CED+∠AEB>360°，这显然是与圆周角的角度是矛盾的，即∠AEB>60°是不成立的。同理∠AEB<60°也是不成立的，故只有∠AEB=60°，即△AEB为等边三角形。

5.否定性命题的证明

否定性的命题的反设就是肯定，只要找出其中的“特殊”就可以进行否定，顺利解决问题。

案例5：已知n为自然数，证明：n2+n+2不能被15整除。

证明：假设n2+n+2能被15整除，那么也必然能被3或5整除，如果为5的倍数，则改数的尾数应该是5。由于n2+n+2=n（n+1）+2，然而当尾数为5时，改数为奇数，从上式可以看 出尾数为偶数，相矛盾，则原命题成立。当尾数为0时，则要求n2+n的尾数为8，然而对于任意自然数，n（n+1）都不会为8，相矛盾，则原命题成立。综上所述两条可以证明：n2+n+2不能被15整除。