三角函数求解中的思维障碍

■广东省惠州惠阳一中实验学校 杨宁平

三角函数及解三角形知识中的公式多、概念广,解题方法与技巧多样,所以同学们经常会出现遗漏条件、忽视范围以及忘记分类等思维障碍,本文就其过程展示给大家,希望对同学们的学习和复习能有所帮助。

1.图像变换中忽略变换顺序或缺少“整体变量观念”。

错解分析:先周期后相位或先相位后周期,忽视变换顺序,或缺少整体变量的观念。

总结:求三角函数的值域让定义域先行且隐含有界性,同时把握三角公式中的二次关系式可换元化归为一次函数或二次函数,通过研究函数在闭区间上的单调性求解。

2.三角形中忽视“大边对大角、大角对大边”的制约。在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,且4bsinA=7a。若a,b,c成等差数列,且公差大于0,求cosA-cosC的值。

错解分析:错解中忽略了a＜b＜c对角A,B,C的限制,从而导致产生增解。

总结:注意对“△ABC中,a＞b⇒A＞B⇒sinA＞sinB”的理解和应用,可以帮助我们缩小角的范围,正确地进行取舍。本题易忽视“a,b,c成等差数列,且公差大于0”对角B的范围的限制,导致思维受阻。

3.忽视题设条件中对角的制约关系。

在△ABC中,3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=1,则∠C的大小为( )。

总结:解三角形问题中的题设条件常隐含角与角之间的制约关系,需要充分挖掘和应用,如此题条件cos比较隐蔽,不易发现,忽略常常出错。

4.忽视解三角形漏解或增解的检验。在△ABC中,B=30°,AB=23,AC=2,求△ABC的面积。

总结:已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角,三角形解的情况可能是无解或一解或两解,要依据三角形中大边对大角进行适当的取舍,也可通过作出图形判断三角形解的个数。