浅谈一道不等式问题的解法

■河南师范大学附属中学 陈 琦

本文通过对课本上的一道例题进行多种解法探讨,希望能给同学们在解关于不等式问题时提供一些帮助。

本题是人教版教材高中数学选修4-5第二讲证明不等式的基本方法——反证法一节中的例1,我们对本题的解法多是采用反证法,但在实际学习中,也有可能出现以下的解法,供同学们探讨:

评注:本方法采用分类讨论的思想,并通过不等式放缩,显示了良好的功底。

解法3:由x+y＞2,知2x+2y＞2+x+y,所以2x+2y＞(1+x)+(1+y),所以2x＞1+y或2y＞1+x。

评注:本方法充分利用了x+y＞2这一条件进行变形,考查对不等式结构的把握。

评注:本方法充分利用题目中x与y的地位等同,即轮换式的特点,很巧妙。

评注:约束条件x＞0,y＞0,且x+y＞2表示平面区域D,而不等式2x＞1+y或2y＞1+x表示平面区域包含区域D。

小结反思:小题也可以作出大文章,想法很好,做法也很到位。对于证明过程,实质上是采用结论“两个实数的和小于零,则这两个数中至少有一个小于零”证明该题。事实上,本题考查的就是反证法的思想。