由递推关系式求数列通项公式的常见方法

■河南省郑州市第四十七中学 吕 茵

由递推关系式求数列通项公式的常见方法

■河南省郑州市第四十七中学 吕 茵

编者的话:经典题突破方法quot;栏目里例、习题选名校模拟题或三年高考真题,推出本栏目的主要目的是让同学们更好地领悟数学解题思想方法,通过多解多变培养同学们多思多想的好习惯。学会解题反思,无疑是同学们学习的一条捷径,愿同学们不断在反思中进步,在反思中收获!

数列是高中数学的重要内容之一,数列的通项公式是数列的核心之一。在很多情况下,各种数列综合问题的解决,首先是对数列通项公式的求解,这是解决数列综合问题的突破口和关键。目前我们比较熟悉的数列有:等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。求解等差数列、等比数列的通项公式的方法是累加和累乘,这两种方法是求数列通项公式的最基本方法。求数列通项的基本思路是把所求数列通过变形,转化为等差数列或等比数列。目前用递推关系求数列通项公式的方法有:累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、倒数变换法、换元法(目的是去掉递推关系式中出现的根号)、不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式)、特征根法等。

一、公式法

已知数列{an}满足an+1=2an+3×2n,a1=2,求数列{an}的通项公式。

二、累加法

1.适用于:an+1=an+f(n)——这是广义的等差数列,累加法是最常见的方法之一。

2.若an+1-an=f(n)(n≥1),则:a2-a1=f(1);

a3-a2=f(2);

…

an+1-an=f(n)。

已知数列{an}满足an+1=an+2×3n+1,a1=3,求数列{an}的通项公式。

解析:由an+1=an+2×3n+1,得an+1-an=2×3n+1,则an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1

=(2×3n-1+1)+(2×3n-2+1)+…+(2×32+1)+(2×31+1)+3

=2(3n-1+3n-2+…+32+31)+n+2

=3n-3+n+2

=3n+n-1。

所以an=3n+n-1。

三、累乘法

1.适用于:an+1=f(n)an。

已知数列{an}满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),求{an}的通项公式。

解析:由题意知an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)。 ①

因此,an+1=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1+nan。 ②

②-①得:

an+1-an=nan。

则an+1=(n+1)an(n≥2)。

已知an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),取n=2得a2=a1。

又知a1=1,则a2=1,代入③得:

四、待定系数法，适用于an+1=qan+f(n)

已知数列{an}满足an+1=3an+5×2n+4,a1=1,求数列{an}的通项公式。

解析:设an+1+x×2n+1+y=3(an+x×2n+y)。 ①

将an+1=3an+5×2n+4代入①式,得:

3an+5×2n+4+x×2n+1+y=3(an+x×2n+y)。

整理得:

(5+2x)×2n+4+y=3x×2n+3y。

由a1+5×21+2≠0及②式,得:

an+5×2n+2≠0。

数列{an+5×2n+2}是以13为首项,3为公比的等比数列,因此an+5×2n+2=13×3n-1,则an=13×3n-1-5×2n-2。

点评:解本题的关键是把递推关系式an+1=3an+5×2n+4转化为an+1+5×2n+1+2=3(an+5×2n+2),从而可知数列{an+5×2n+2}是等比数列,进而求出数列{an+5×2n+2}的通项公式,最后再求数列{an}的通项公式。

五、对数变换法，适用于an+1=parn(p,r为常数)型,p＞0,an＞0

数列{an}满足an+1=2×3n×a5n,a1=7,求数列{an}的通项公式。

解析:因为an+1=2×3n×a5n,a1=7,所以an＞0,an+1＞0。在an+1=2×3n×a5n的两边取常用对数,得lgan+1=5lgan+nlg3+lg2。 ①

不妨设lgan+1+x(n+1)+y=5(lgan+xn+y)。 ②

将①式代入②式,得5lgan+nlg3+lg2+x(n+1)+y=5(lgan+xn+y)。

两边消去5lgan并整理,得:(lg3+x)n+x+y+lg2=5xn+5y。

六、换元法

点评:解本题的关键是将 1+24an换元为bn,使得所给递推关系式转化为bn+1=的形式,从而可知数列{bn-3}为等比数列,进而求出数列{bn-3}的通项公式,最后求出数列{an}的通项公式。

七、倒数变换法，适用于分式关系的递推公式，分子只有一项

八、不动点法

已知数列{an}满足an+1=求数列{a}的通项公式。

n

九、特征方程法，适用于形如an+2=pan+1+qan(p,q是常数）的数列

形如a1=m1,a2=m2,an+2=pan+1+qan(p,q是常数)的二阶递推数列也可用特征根法求得通项an,其特征方程为:

x2=px+q。①

若①有两个异根α,β,则可令an=c1αn+c2βn(c1,c2是待定常数)。

若①有两个重根α=β,则可令an=(c1+nc2)αn(c1,c2是待定常数)。

再利用a1=m1,a2=m2,可求得c1,c2,进而求得an。

已知数列{an}满足a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N*),求数列{an}的通项公式。

解析:其特征方程为x2=3x-2,解得x1=1,x2=2。令an=c1·1n+c2·2n。

(责任编辑 徐利杰)