如何利用函数的单调性解题

■河南省沈丘县第二高级中学高二(23)班 王玢珂

如何利用函数的单调性解题

■河南省沈丘县第二高级中学高二(23)班 王玢珂

函数的单调性是我们在学习函数时要掌握的重要性质之一,也是每年高考考查函数时要重点考查的内容。在高考试题中,我们通常所见到的应用函数单调性来解决的问题不外乎求参数的取值范围、解不等式与求函数的最值等三类。

一、利用函数的单调性求取值范围

二、利用函数的单调性解不等式

如果是利用函数的单调性解不等式,则一定要注意函数的定义域,也就是要先落实函数的定义域,否则极易出现错解。

例2 已知函数f(x)是增函数,定义域为(0,+∞),且f(4)=2,f(xy)=f(x)+f(y),求满足f(x)+f(x-3)≤2的x的取值范围。

解析:因为f(x)+f(x-3)≤2,f(xy)=f(x)+f(y),所以f[x(x-3)]=f(x)+f(x-3)≤2=f(4)。

又因为f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以x(x-3)≤4,解得-1≤x≤4。

由题意知,满足f(x)+f(x-3)≤2的x的解可由以下不等式组解得:

故x的取值范围是3＜x≤4。

三、利用函数的单调性求函数的最值

因为0＜x1＜x2≤1.6,所以x1-x2＜0,且x1·x2-3＜0。

所以f(x1)-f(x2)＞0,即函数f(x)在0＜x≤1.6上是减函数。

所以f(x)≥f(1.6)=-0.525,故所求函数的最小值为-0.525,无最大值。

评析:该题是一个解答函数求解最值的问题,函数单调性在解答过程中的运用主要体现在通过题设所给函数等价变形为f(x),把原问题转化为对函数单调性的讨论,明确单调性后利用单调性达到求解最值的目的。

(责任编辑 赵 平)