动态平衡问题的解题策略

方文川

（漳州第一中学，福建 漳州 363000）

动态平衡问题的解题策略

方文川

（漳州第一中学，福建 漳州 363000）

动态平衡问题是学生学习静力学过程中遇到的一个重要题型，它是学生学习过程中的重点也是难点问题。这种题型的特点是因物体位置的变化引起其它相关物理量的变化，一般都有“缓慢”变化的字眼。文章从动态平衡的特征入手，全面系统地谈静力学中动态平衡问题的解题策略，让学生学会思考，进而提升物理学科素养。

动态平衡；解题策略；解析法；图解法；相似三角形法

一、一般动态平衡问题的分析

1.处理一般动态平衡问题的基本方法

处理动态平衡问题的基本方法主要有三种：解析法（公式法）、图解法、相似三角形法。具体选择什么方法应根据问题的特征进行选择。有的题目可能有多种解法，有的题目则适合采用其中的一种方法，而教师解决问题的策略就是能够根据问题的特征选择最简单有效的方法。下面根据物体受力的特征分类讨论：

（1）物体受两个力且有两个力总垂直

例题1【2016·全国Ⅱ卷】质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上。用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图1所示。用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中

A.F逐渐变大，T逐渐变大B.F逐渐变大，T逐渐变小C.F逐渐变小，T逐渐变大D.F逐渐变小，T逐渐变小

分析与解答：解题首先要把握住题眼，本题的题眼有“缓慢”字眼，又结合题目的物理情景易知本题属于动态平衡问题。

对O点受力分析可知：O点受三个力，如图2所示：

解法一：根据O点受力特征：发现其中F与mg这两个力方向总是垂直，本题可用解析法解答如下。

由图2采用正交分解法可得：Tcosθ=mg，Tsinθ=F.

由O点缓慢向左可知：θ增大，cosθ减小，T增大；tanθ增大，F增大，因此选A。

解法二：由题给条件可知：重力大小和方向均不变且F的方向不变，本题也可用图解法。

图解法解题的要点是先找出题目中的不变量，画图过程中要确保不变量得到体现，同时还要确保

方向变化趋势的分析是准确的。

如图3所示，先把三个力平移到一个三角形上，其次确保重力大小和方向均不变且F的方向不变，最后T与mg的夹角不断变大，可得新的三角形中F与T均变大，如图4因此选A。

本题的两种方法解题各有优点，公式法的推理严密，容易理解和接受，但计算较为繁琐；图解法

显得简单明了，但矢量三角形容易画错，特别是矢量三角形如何体现题干中的不变量。

（2）物体受三个力，任意两个力并未总是垂直

例题2【2013·天津卷】如图5所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O点。现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力FN以及绳对小球的拉力FT的变化情况是

A.FN保持不变，FT不断增大B.FN不断增大，FT不断减小

C.FN保持不变，FT先增大后减小D.FN不断增大，FT先减小后增大

对小球受力分析可知：小球受三个力，如图6所示

易发现随着斜面向左运动，小球缓慢上升，三力中的其中两力并未始终垂直，不宜用解析法，但重力大小和方向均不变且FN的方向不变，宜用图解法较为方便。图解法过程分析同例题1。

由图7可知FT先减小后增大，FN一直增大。因此选D

例题3【2015秋·淮南期末】如图8，一轻杆BO，其O端用光滑铰链铰于固定竖直杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住．现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力FN的大小变化情况是

A.FN先减小，后增大

B.FN始终不变

C.F先减小，后增大

D.F逐渐减小

对结点B受力分析可知：结点B受三个力，如图9所示：

通过三个力方向的分析可知本题三力中有两力方向一直在变，本题宜用相似三角形法。

设 AB=l，AO=H，BO=L，把 B 结点所受三力平移到同一个三角形，可以发现力的矢量三角形与几何三角形 △AOB相似，如图10，由此可得：

（3）物体受三个力以上

例题4【2017·德阳模拟】如图11所示，某人通过光滑的定滑轮拉住一重物，当人向右跨出一步后，人与物体仍保持静止，则下列说法正确的是

A.人对绳子的拉力增大

B.地面对人的支持力不变

C.地面对人的摩擦力减小

D.人对地面的作用力增大

析与解：本题的题眼是“当人向 右跨出一步后，人与物体仍保持静止”，由题目的物理情景易知本题属于动态平衡问题。

通过对重物分析可知：绳子拉力T=mg（mg为重物的重力），因此绳子拉力不变，A错；

对人进行受力分析如图12：由于受力超过三个，宜选择正交分解法解题。

水平：Tcosθ；竖直：Tsinθ+N=Mg（Mg为人的重力）。

人向右跨出一步可知，θ变小，cosθ变大，而T不变由水平平衡方程可知f变大，因此C错；θ变小，sinθ变小，而T与Mg不变由竖直平衡方程可知N变大，因此B错；人对地面的作用力即为人对地的压力和摩擦力的矢量和与N和f的合力方向等大反向，N和f均与变大且夹角不变，其合力变大，因此D正确。本题答案为D。

2.处理一般动态平衡问题的思路总结

处理一般动态平衡问题一般是先选择好研究对象，其次对研究对象进行受力分析，再根据研究对象受力的个数按以下原则选择解决问题的方法。

（1）若物体受力只有三个的情况下：①物体所受的其中两个力总是垂直，可以用解析法（公式法）；②若未满足①的特征，仍用解析法解题在数学运算上将带来很大的麻烦，此时若有其中一个力大小、方向均不变，且另一个力的方向不变，则宜用图解法；③若未满足①②两个特征，则宜用相似三角形法解题更方便。

（2）若物体受力超过三个，则宜用解析法（公式法）

二、动态平衡问题的两类特殊模型

1.滑轮或挂钩类

此类模型的特点：滑轮或挂钩两侧绳子的拉力大小总是一样，平衡时两侧绳子与水平夹角一样，两侧绳子的总长不变。设两侧绳子长度分别为l1，l2，与水平夹角为θ1和θ2，两侧绳子的水平距离为d，则有：

力学关系：水平：Facosθ1=Fbcosθ2

∵ Fa=Fb∴ θ1= θ2

竖直：Fasinθ1+Fbsinθ2=jg综合以上关系有：2Fsinθ=mg

几何关系：总长：l=l1+l2；绳子两端点水平距离d=l1cosθ1+l2cosθ2=lcosθ.

例题5【2017·天津卷】如图14所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是

A.绳的右端上移到b′，绳子拉力不变

B.将杆N向右移一些，绳子拉力变大

C.绳的两端高度差越小，绳子拉力越小

D.若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移

【答案】AB

析与解：本题的题眼是衣架钩是“光滑”的，绳子是“不可伸长”，满足上述模型的基本特征。

设两杆间距离为d，绳长为l，Oa、Ob段长度分别为l1和l2，则l=l1+l2，两部分绳子与竖绳与水平方向夹角分别为θ1和θ2，受力分析如图15。由绳子中各部分张力 相 等 Fa=Fb=F ，有 θ1=θ2。同 时 满 足 2Fsinθ=mg …①l1cosθ+l2cosθ=lcosθ=d …②AC选项中，d和l均不变，由得 θ不 变 ，又 由知，F不变，因此A正确，C错误；B选项N右移，d增大，l不变，由②式可得cosθ增大，sinθ减小，由①式可得F增大，因此B正确，D错误，应往左边移动。

2.两个力方向的夹角总是不变的

此类模型的特点是物体受三个力，有一个力大小和方向均不变且另两个力的方向夹角总是不变。解决问题的策略是：如果这两个力夹角总是垂直，宜用解析法（公式法）较为方便，若不垂直，用解析法将会带来大量繁杂数学运算，此时宜用图像法（作辅助圆）［2］，但是这种题型的图解法并不像前面基本题型的图解法那么容易，而要利用的圆的一个重要性质来作图，即圆里面同一条弦所对应的圆周角是不变的，也就是要在同一个圆里面去画三角形以确保这个模型里面有一个力大小方向均不变且另两个力方向的夹角不变。

例题6．【2017·新课标Ⅰ卷】如图16，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中

A.MN上的张力逐渐增大

B.MN上的张力先增大后减小C.OM上的张力逐渐增大

D.OM上的张力先增大后减小

析与解：本题题眼是“缓慢”拉起，保持夹角α不变，满足上述模型特征。而且α≠π/2，宜用图解法。

以重物为研究对象，物理受三个力，其中mg大小方向均不变，而OM绳上的拉力F2与MN上拉力F1夹角总是α。由平衡条件可知三力合力为零，三力构成封闭三角形且其中两力夹角不变。利用圆的性质：圆里面同一条弦所对应的圆周角是不变的，作出图17可知：

在F2转至水平的过程中，MN上的张力F1逐渐增大，OM的张力F2先增大后减小，因此AD正确。

例题7．【2017·山西大同联考】一铁球悬挂在OB绳的下端，轻绳OA、OB、OC的结点为O，轻绳OA悬挂在天花板上的A点，轻绳OC拴接在轻质弹簧测力计上。第一次，保持结点O位置不变，某人拉着轻质弹簧测力计从竖直位置缓慢转动到水平位置，如图18甲所示，弹簧测力计的示数记为F1。第二次，保持轻绳OC垂直于OA，缓慢释放轻绳，使轻绳OA转动到竖直位置，如图18乙所示，弹簧测力计的示数记为F2。则

A.F1恒定不变，F2逐渐增大

B.F1、F2均逐渐增大

C.F1先减小后增大，F2逐渐减小

D.F1逐渐增大，F2先减小后增大

析与解：两个过程均有“缓慢”字眼，由题中情景可知两个过程均属于动态平衡问题。

题图甲中，OA与OC的合力与重力等大反向，且保持不变，OA的方向不变，满足一般动态平衡问题中的第二种特征宜用图解法（如图19），通过画平行四边形可知，当OC顺时针转动到水平位置时，F1先减小后增大。题图18乙中，设OA绳与竖直下行为θ，因为OA与OC垂直，且合力与重力等大反向，由公式法可得，F2＝mgsin θ，根据题意，随着θ的减小，F2逐渐减小，故选项C正确。题图18乙同时也满足两力方向夹角总是不变的特点，亦可用辅助圆画图得到结果（如图20）。因此本题选C。

总之，处理力学动态平衡问题时，先判断题目所给的物理模型特征，若是一般的动态平衡问题则应该按处理一般动态平衡问题的方法去做；若满足文章所述的后面两种特殊模型，宜用后面的方法解决。复习过程中要让学生学会准确建立物理模型，根据物理模型的特征选用相应的解题方法，做到事半功倍，提高学习效率；要培养学生科学思维，提高学生解决物理问题的能力，把提高学生的物理学科素养落到实处。

［1］彭前程.积极探索基于核心素养理念下的物理教学［J］.中学物理，2016（2）.

［2］彭立君.利用“辅助圆”巧解一类动态平衡问题［J］.物理教学探讨，2016（12）.

福建省教育科学“十三五”规划2017年度课题“基于核心素养的高中物理教学策略的研究”（项目准号：FJJKXB17-470）。

（责任编辑：詹国荣）