明确高考数学试题特点 增强复习教学目标意识——近五年高考理科数学全国Ⅰ卷试题分析与复习教学建议

王钦敏 余明芳

（福建教育学院数学研修部，福建 福州 350025）

明确高考数学试题特点 增强复习教学目标意识
——近五年高考理科数学全国Ⅰ卷试题分析与复习教学建议

王钦敏 余明芳

（福建教育学院数学研修部，福建 福州 350025）

对近五年高考理科数学全国新课标Ⅰ卷试题的内容进行统计分析，指出高三数学总复习教学中教师应着重增强的三个目标意识：立足基础突出主干，构建完整知识体系；运算推理两翼并重，增强求变转化意识；通法为主特技为辅，力促解证周密有序。

高考数学；试题统计分析；复习教学；目标意识

近五年高考数学全国新课标Ⅰ卷在命题理念与试题特点方面，具有很强的稳定性和连贯性，对其的理科试题内容进行统计分析，有助于广大教师进一步明确高考理科数学全国新课标Ⅰ卷试题特点，增强高三理科数学教学工作的针对性。

一、关于近五年高考理科数学全国新课标Ⅰ卷试题内容与特点的统计分析

整体上看，近五年高考理科数学全国新课标Ⅰ卷均遵循了《普通高中课程标准（2003实验）》的要求，以历年普通高等学校招生全国统一考试大纲及其说明为依据，对考生的数学知识与数学思维能力进行了综合考查。逐类分析，可以发现试卷在所考查的知识内容的特点与题量分布等方面具有以下一些统计特征：

试卷的前9道选择题与第1道填空题，所涉及的概念与知识较少，但解题时都需要进行运算与推理，过程并不简单，因而，试卷在考查数学基础知识时仍然十分关注数学思维能力的考查。统计可知，近五年试卷在这10道试题中高频考查的知识点有：集合、复数、概率、程序框图、双曲线、函数、三视图、向量等，具体内容按年记录如下：

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试卷的后3道选择题与后3道填空题，所涉及的概念与知识较多，解题时大都需要进行较复杂的运算与推理。统计可知，试卷在这6道试题中高频考查的知识点有：圆锥曲线、导数、数列、三角函数、几何计算等，具体内容按年记录如下：

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整体地看，试卷在选择题与填空题高频考查的知识点有：集合、复数、概率、程序框图、三视图、线性规划、二项式、函数、三角函数、几何计算、向量、圆锥曲线、导数等，具有很强的稳定性和连贯性，使高三数学复习教学内容有具体明确的范围。

近五年试卷在解答题部分，3次考查了正余弦定理的应用问题，2次考查了数列的计算问题，各年均考查了立体几何、概率与统计、解析几何、函数与导数等问题。

解答有关正余弦定理应用问题，需要考生能灵活运用正、余弦定理进行边角互换，能通过对已知数式变形化简求得三角形周长等数值；解答数列计算问题，需要考生具有较强的求变意识与化归能力，能熟练处理数列通项an与前n项和Sn的关系式，掌握数列求和的常用方法，熟悉有关存在性问题的探究与证明思路。

5道立体几何解答题中，所给几何体的图形底面均为菱形、矩形或正方形（如图），试题第1问在近三年试卷中都是关于面面垂直的证明问题，第2问都是求线线、线面或面面所成角正、余弦值的计算问题。

5道概率与统计解答题的，阅读量都很大，并有增多趋势，其中，2017年的试题文字数量超过500个。各年试题的主要知识背景先后为：抽样；频率分布直方图；散点图；柱状图；正态分布，所要解答的问题涉及面广，需要考生能耐心阅读细致分辨，具备较强的数据处理和运算能力。各年试题涉及的知识内容记录如下：

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5道解析几何试题的解答难度相对以往福建自主命制的而言都有所降低，其中1道与抛物线有关，另4道均与椭圆有关且其中有2道出现圆的内容，有出现圆的内容，问题的图形都比较复杂，需要予以充分重视。

有关函数与导数的5道解答题，题干都比较简单，题设给出的函数解析式中频繁出现ex与lnx，出现ex的有4道，出现lnx的有2道，函数图象多为单峰；需要解答的问题涉及不等式证明、求取值范围与求最值等，有3道需要解答与零点有关的问题。

选答题中的“坐标系与参数方程”问题，题设中出现参数方程的有4道，出现极坐标的有3道，第1问均有坐标或方程的互化问题，第2问中出现求最值问题的有2道。

选答题中的“不等式选讲”问题，有4道题在题设中出现含2个绝对值的函数，有7个问题与求解集或求取值范围有关。

二、高三数学总复习教学工作中应增强的三个目标意识

相对各省自主命题的试卷而言，近五年高考理科数学全国新课标Ⅰ卷对基础知识的考查更加全面系统，对数学思维能力的考查更为自然地渗透在各个问题的解答过程中，试卷在考查应用数学知识能力的同时，更深入地考查了学生对数学思想方法理解和掌握的程度，以更多的方式考查了学生在分析与解决问题时的求变意识与化归能力。因此，在高三数学总复习教学工作中，教师应着重增强以下三个复习教学目标意识：

1.立足基础突出主干，构建完整知识体系

从题量、分值与内容上看，近五年高考理科数学全国新课标Ⅰ卷对解析几何、函数与导数、向量与几何、概率与统计等模块的考查是全面与深入的。例如，解析几何中的直线、圆、抛物线、椭圆和双曲线等问题都是高频考点，且多为压轴问题；导数在函数中的应用问题多为选择与解答题的压轴题，与函数性质有关的问题是高频考点，对三角与数列问题的考查则有相互弥补调和的特点：若试卷第1道解答题考查的是正余弦定理的应用，选填题部分就会出现1道有关三角函数图象与性质的问题，还有2道以上的数列问题；若第1道解答题考查的是数列问题，选填题就会出现3道有关三角函数的问题。对概率与统计模块的考查，都是选择题与解答题各1道，选择题多为概率计算，解答题则可能涉及到模块内的所有知识，属于中难题。

试题全面体现以能力立意的命题导向，需要考生具备更为扎实的知识基础；试题对主干章节全覆盖式的考查在题量与难易方面有明显倾斜，需要考生对其章节内容有较深刻的系统认识，因而，“立足基础突出主干，构建完整知识体系”是教师在高三复习教学中首要增强的一个目标意识。复习教学不仅要引导学生全面掌握各章节知识内容与基本方法，还要多渠道引导学生深刻理解核心概念，更广泛地认识知识间的纵横联系，构建更完整的知识体系，进一步领悟章节知识所蕴含的主要思想，促使知识融会贯通，知识结构得到更新优化。帮助学生构建完整的知识体系，可以提高学生解题时的化归能力，让学生能迅速地找到与问题有关的可能用得上的公式与定理，更易于通过类比与联想，将问题转化为一个已解决的问题、一个更简单的问题、一个更普遍或更特殊的问题。

（二）运算推理两翼并重，增强求变转化意识

运算与推理是解答高考每一道试题都需要的数学能力，也是导致考生出现解题障碍与题解错误的两个主要因素，因而也是复习教学中必须关注与提升的主要思维能力。提升学生运算与推理的能力，需要让学生在运算与推理中养成良好的思维习惯与品质，还需要增强学生在运算和推理时运用相关数学公式定理与思想方法的意识。例如，在一元二次函数、方程与不等式问题的运算与推理过程中，应有运用配方法、判别式法和韦达定理的意识；在数列问题的运算与推理过程中，应有运用基本量法、累加法、倒写法、错项和裂项相消法的意识；在三角形问题的运算与推理中，应有运用化异为同思想、正弦定理、余弦定理、面积公式等的意识，等等。运算与推理在解题思维中有相互依存与相互推进的关系，在复习教学中须两翼并重，不可偏废。

高考试题在考查运算与推理能力的同时，也在考查考生运用数学知识与思想方法的水平，进而考查考生的求变意识与化归能力。命题变更是解决数学问题的基本思路，解题中需要进行的因果、数形、整零、和积与动静等转换，需要考生具备较强的求变意识，配方法、消元法、待定系数法、换元法、反证法、面积法、构造法、降次法、参数法、割补法、拼凑法等常用数学方法，以及模型化、简单化、坐标化等重要数学思想在解题中的应用，都存在转化与化归的流程，需要考生具备一定的化归能力。因而，致力强化学生解题时的求变意识与化归能力，是教师在高三数学复习教学要增强的一个重要目标意识。例如，在圆锥曲线部分的复习教学中，要引导学生理解和掌握坐标化、简单化等思想方法；在函数与导数部分复习教学中，要引导学生了解和体会化动为静、化曲为直、化无限为有限等思想意识；在坐标系与参数方程部分的复习教学中，要从化归与转化思想的角度引导学生理解章节知识内容，等等。

（三）通法为主特技为辅，力促解证周密有序

相对而言，高考理科数学全国新课标Ⅰ卷压轴题的解题技巧均有所减少，但在更多试题中考查了数学解题时中的求变意识与化归能力，更加注重考查具有普适性的数学思想方法。因而，高三数学复习教学应增进学生关于数学基本思想方法的理解，提高学生在解题中运用数学思想方法的能力，让学生在解题中能有意识地结合常用的数学思想方法对问题进行思考与分析。研究提高备考复习教学效益与学生考场答题水平的主要策略，是师生在高三数学复习教学中要增强的另一重要目标意识。通法为主特技为辅，在备考解题教学中更多地选取与常用数学思想方法相关的中难度习题，在讲解时更多地揭示数学思想方法在问题解决过程中的引领与导向作用，逐步养成学生在思考分析问题时运用数学思想方法的意识、习惯与能力，是提高备考复习教学效益与学生考场答题水平的主要策略之一。

在高考中，大部分学生在中难题的解答中频繁出现“会而不对”的现象，是备考复习教学和学生在考场上最需要关注的问题。周而不疏、密而不漏，是体现在数学解题过程中的大智慧，轻慢、懈怠与疏忽是解题时最需要克服的心理弱点，周密有序地进行运算与推理是最重要的考场答题策略，因而，力促解证周密有序，是教师备考复习教学中不可或忘的重要工作。力促解证周密有序，就是要养成学生缜密思维的习惯，使之在解题时能较快分辨未知数、已知数据、条件各是什么，能通过画图或引入适当的符号审清题意，能在解题中整体关注包含在问题中的所有概念，融合使用所有的已知数据与条件，懂得在易发生错误的地方放慢运算速度，力求推理步步有据，并在完成解答后懂得检验一些可疑的运算与推理步骤。

三、结语

在近五年高考理科数学全国新课标Ⅰ卷中，很难发现有脱离中学数学知识体系的试题，没有出现与递推公式、函数的凹凸性、二阶导数等内容有关的超纲试题，试卷更加注重考查高中数学的主干知识内容与基本思想方法，规避了许多没有数学意义的伪问题，以及许多特殊的、无实际背景的、人为编造的问题，压轴试题中也很少出现纯粹形式演算与技巧演绎的问题。

无论是命题理念还是试题特点方面，近五年高考理科数学全国新课标Ⅰ卷与各省自主命题的试卷都有很大差异，因而，教师在复习教学中应格外明确其试题特点，增强复习教学目标意识，加强高中数学主干知识与基本思想方法的教学，进一步研究提高备考复习教学效益与学生考场答题水平的主要策略。在解题教学中，不能一味地让学生没有目标地大量做题，而应选用有数学意义的好问题，大胆删去练习和教辅材料中偏离章节知识系统思想指向的无意义问题，删去那些无助于促进学生数学理解无助于学生掌握数学基本思想方法的问题，删去超纲的怪题和纯粹玩花样与技巧的难题。

［1］张饴慈,王尚志,薛文叙.体现课标理念突出导向作用［J］.数学通报，2012（2）.

［2］张饴慈.解数学题不应是公式、规则的演绎游戏［J］.数学通报，2010（6）.

［3］杨恩彬.稳中求变，凸显素养，贴近实际，彰显品质［J］.福建教育:中学版，2016（8）.

（责任编辑：万丙晟）