数学最值与优化问题教学例谈

梁兴为

（福清元洪高级中学，福建 福清 350300）

数学最值与优化问题教学例谈

梁兴为

（福清元洪高级中学，福建 福清 350300）

对近三年高考理科数学全国Ⅰ卷中与规划有关的最值与优化问题、与三角有关的最值优化问题、与函数导数有关的最值和优化问题等问题进行分析，以便考生在最值与优化问题知识模块中找到解决办法，并提出相应的教学策略。

全国数学理科Ⅰ卷；最值与优化问题；教学策略

高考数学对最值与优化问题的考查历久不衰，一直是热点题型之一。从题型上看，选择题、填空题、解答题中都常涉及，尤其是选择和填空的把关题，更是经常出现；从知识模块上看，线性规划、函数导数、不等式、三角函数、数列、极坐标与参数方程、解析几何、立体几何，甚至统计概率中都有涉及。最值优化问题综合性强，能很好地考查学生的数学思维能力。下面结合近三年高考理科数学全国Ⅰ卷的试题，以例题的形式，谈谈最值与优化问题的解决方法和教学策略。

一、与规划有关的最值与优化问题

例1（2016全国Ⅰ卷第16题）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg，用3个工时。生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_________元。

分析：本题应用背景，考线性规划的最值与优化；需较强的分析化归建模和运算求解能力。

解析：设生产产品A、B分别为x、y件,利润之和为Z元,则

目标函数Z＝2100x+900y；

约束条件可化为：

作可行域如图1：

图1

联立解方程组得M的坐标（60,100），将其代入目标函数的最大值216000元。

分析：本题直接考线性规划的最值与优化。

解析：作可行域如图2所示：

图2

此时 z=3×(-1)-2×1=-5。

教学策略：在与规划有关的最值与优化问题教学中，须结合实际问题，理清线性规划的有关知识，把握解题的一般步骤：审清题意，画出可行域，求与最值有关的交点坐标，将坐标代入目标函数中求出最值。在教授或复习时，应加强以下三方面训练，避免出现软肋：分析转化问题列出目标函数和约束条件；截距型、斜率型和距离型三类最值；截距型规划中含参问题。

二、与三角有关的的最值与优化问题

（1）若a=-1，求C与L的交点坐标；

（2）若C上的点到L的距离的最大值为 17，求a。

分析：本题为选考中极坐标与参数方程内容，第二问考最值与优化；需较强的分析化归能力。

（2）直线L的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点 (3cosθ,sinθ)到L的距离为

解得a＝-16或a＝8.

例4（2015全国Ⅰ卷第16题）在平面四边形ABCD中 ，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则 AB 的 取 值 范 围是____。

分析：本题为解三角形和平面几何的内容，求取值范围实质上也是一种最值与优化问题，需要考生具备较强的化归意识和运算能力。

解析：如图3所示

延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B＝∠C＝75°，∠E＝30°，

平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B＝∠BFC＝75°，∠FCB＝30°，由正

所以AB的取值范围为（ 6-2，6+2）。

例5（2017全国Ⅰ卷第10题）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为( )。

A．16 B．14 C．12 D．10

分析：本题为解析几何的内容，考距离和最小；需很强的分析化归能力.

教学策略：在与三角有关的最值与优化问题教学中，须结合具体问题和相应模块知识，善于将问题化归转换成三角问题，再利用三角函数求最值。把握三角函数最值的一般步骤：利用正余弦定理和三角变换公式，化多个三角函数为同一个三角函数，再利用图像和性质求最值，注意角范围的讨论。在教授或复习时，应加强以下两方面训练：各个知识模块向三角函数问题转化和化归；用三角变换化多个三角函数为同一个三角函数。

三、与函数导数有关的最值与优化问题

例6（2016全国Ⅰ卷第15题）设等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为_____。

分析：本题为数列的内容，既考等比数列的基本量和性质，又考指数对数的运算，还考最值优化；需较强的分析运算能力。

当n=3或4时，a1a2...an取得最大值26=64.

例7．（2017全国Ⅰ卷第16题）如图4，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为 O。D、E、F为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 。

图4

分析：本题属翻折问题，需要几何计算和求函数最值，考生要具备较强的化归建模和运算求解能力。

例8（2015全国Ⅰ卷第19题）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量y1（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图6及一些统计量的值。

图6

（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d x哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（1）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（2）年宣传费x为何值时，年利率预报值最大？

分析：本题为统计概率的内容，期中第三问后半部分考到函数最值。

解析：（Ⅰ）略，答案为y＝c+d x；

（Ⅱ）略，答案为：y^=100.6+68 x；

（Ⅲ）（1）年销售量576.6t，年利润预报值约是66.32千元；

（2）由（ Ⅱ ）知 ，年 利 润 Z的 预 报 值Z^=0.2(100.6+68 x)-x=-x+13.6 x+20.12，

即x＝46.24千元时，年利率的预报值最大。

教学策略：在与函数导数有关的最值与优化问题教学中，须把握好解题一般步骤：结合具体问题和相应模块知识理解题意，将问题化归转化后建立函数模型，利用二次函数或三次函数或分段函数或复杂函数知识以及导数工具求解函数模型，最后回答及实际问题。在教授或复习时，应加强以下两方面训练：强化各个知识板块和问题的转换和化归，建立函数模型；强化各类型函数的最值计算。

总之，最值与优化问题在生活生产中有着广泛的应用基础，在高考试卷中的各类题型和各个知识模块中都常涉及。最值与优化问题能很好地考察学生的数学思维素养，是今后各类数学考试中热点题型之一。

［1］李国艳，吴定业.立足学生选择视角优化解法提升能力［J］.福建中学数学，2017（6)）.

［2］顾忠华. 例谈高中数学中的最值问题［J］.中学数学，2017（3）.

［3］龚海滨，王茜.二次函数逆向最值问题的优化策略［J］.高中数学教与学，2014（17）.

（责任编辑：王钦敏）