高中数学例题解答中导数的应用

刘牧琦

摘要 在高中数学知识学习当中，导数是我们学习当中的重要内容与知识点，并在我们整体数学学习当中具有着重要的作用发挥。函数单调性、切线以及极值问题等都同导数的应用具有关联。在本文中，将就高中数学例题解答中导数的应用进行一定的研究。

关键词：高中数学；例题解答；导数应用；

1 引言

在高中数学体系当中，导数具有着非常重要的作用与地位，同时也是我们未来高考当中主要的得分点。在高校微积分学习当中，也同导数的实际应用间始终具有着十分密切的联系。但是根据班级当中其余同学学习情况的观察，发现大家在导数学习当中还存在着一定的困难，并因此对导数教学效果产生了较大的影响。对此，即需要能够做好导数应用方向以及对应例题的积极学习，以此不断提升自身导数学习水平。

2 高中数学解题中导数应用

2.1 基本问题求解

在数学例题当中，通过导数方式的应用，不仅能够简化解题过程，且能够实现我们思维的有效拓宽，通过多种解答方式的应用不断提升我们的数学思维。以一道基础的导数例题为例：已知有y=（1+cos2x）2，求该函数的导数y。对于该题目，可以说是一道非常典型的求导例题，在实际解题中，如果我们没有对复合函数的求导方式进行熟练的掌握，则可能因此导致错误出现。在该题目中，2x当中的数字2不能够将其同x的系数等同，而需要以复合函数形式对其进行求导。在经过观察对该题目的关键点了解后，即可以正式对该问题进行解答，首先，要

2.2 求解极值

在高中函数知识学习当中，对于极值的求解是一项重点问题，同时也是我们实际学习当中必须能够熟练掌握的。在以往没有将到导数应用在函数极值求解时，对于函数极值的求解可以说一直是数学学习当中存在的难点。在函数最值的求解当中，具有着较多的方法，且在整个过程当中将涉及到较多的数学知识点，可以说是一项具有较强综合性的问题。导数的出现，不仅将对函数极值的求解步骤进行有效的简化，且能够对函数求解思路进行有效的丰富。在我们现阶段面对的考题当中，在涉及到函数极值问题时，通常是对某个函数期间极小值以及极大值的求解，对于该种情况，即需要通过数形结合思想的应用将函数极值点同区间端点位置进行比较，以此实现极小值、极大值取值点的确定。如有一道关于极值方面的例题：已知有函数f（x）=x2+x，求解函数在R上的极值。在导数思想下，则可以按照以下方式进行求解：根据题目内容，可以获得f（x）=2x+1，当导数大于0时，可以获得x>-0.5。而当导数小于0时，则可以获得x<-0.5。对此，当x正好等于-0.5时，该函数则将具有极小值-0.5，且不存在极大值。

2.3 分析函數单调性

在以往面对函数的单调性问题时，通常以图像法进行分析，即通过对函数图像直接观察，使用减函数以及增函数定义的方式判断函数单调性。但对于该方式来说，其对于复杂函数则存在着不适用情况。在该种情况下，通过导数知识的应用对函数单调性进行求解则成为了一种有效方式。在以该方式处理时，一项基本要点即先对函数的导数进行求解，在将其作为独立函数看待的基础上使其同0进行对比，以此对该导数在不同区间的大小关系进行得出。如当x在[a，b]区间时，如导数大于0，那么在该区间原函数则具有着单调递增情况。而当x在[a，b]区间时，如导数小于0，那么在该区间原函数则单调递减。

2.4 求解切线问题

对于导数的几何意义来说，即是其在某点位置所具有的切线斜率，在该问题当中，导数的作用即实现几何图形同导数间的结合，如三角曲线、指数曲线以及圆锥曲线等都将以导数方式进行求解。在以往的学习当中，在面对复杂切线问题时，往往还是以老思路与方法进行求解，同时导数的存在，也将对切线问题的提供了更广的解决思路。受到思维定式的影响，我们在数学问题求解时经常会存在一定的局限性，而通过导数思想的应用，则能够对数学问题的解决方式形成了较好的创新，如可以使用导数知识进行立体几何、向量以及解析几何的求解等。在高中数学学习当中，坐标系切线方程可以说是较为常见的题目类型，在该类题目中，在已知条件当中将给出曲线外坐标点，之后根据该点实现曲线切线方程的求解。在具体对该类题目进行解答时，导数可以说是较为常用且十分简单的解题方式。有一道关于导数的例题：有一条曲线C，其曲线方程为y=f（x），求过点A（x0，y0）曲线切线方程。在该题目当中，主要是对我们导数概念的应用与理解方式进行考察。对此，我们在面对该题目时需要先做好题目的分析，即判断曲线C上是否存在点A，并根据函数对其进行求导，在求导完成后根据结果求解。首先，我们可以设该点即处在曲线C上，此时需要求的切线方程即为y-y0=f（x0）（x-x0），以此即可以获得该题目的答案。同时，还需要对另一种情况进行考虑，即当点A没有处在曲线C的情况，此时，即需要求出其对应的切点（x1，y1），通过求导的方式获得该切点值，即该切线所经过的点，以此完整的实现问题的解答。

3 结束语

在上文中，我们对高中数学例题解答中导数的应用进行了一定的研究。作为我们高中数学学习当中的重点内容，在实际学习当中也需要做好下述问题的了解：要对导数在数学教学当中的作用灵活发挥，将几何、函数以及不等式方面内容同导数学习间紧密结合，对导数实际应用当中的异同点准确找出。同时，要在学习当中积极寻求、掌握不同知识间存在的内在联系，对教学效果、教学效率不断强化，以此不断提升自身的数学水平。

参考文献

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