函数的性质如何自然地教学

广东省阳春市第一中学(529600) 吴英颖

函数的性质如何自然地教学

广东省阳春市第一中学(529600) 吴英颖

1.绪论

1.1 问题的提出

高中函数的性质(单调性、奇偶性)对学生来说是个全新的概念,学生在学习该性质时感觉从天上掉下一个概念的感觉,难以理解,更谈不上灵活应用.

为帮助学生透彻理解并掌握所学的概念,关键的问题是不仅要让学生知道一节课学习的内容,更要让学生知道为什么要学这个内容,由“知其然”发展到“知其所以然”.即使是教师直接告诉学生课题内容,也要作出充分的铺垫,使得学生觉得这个时候学习这个内容是应该的,自然而然的.

1.2 函数性质的教学现状

在进行高中函数的性质教学时,我们都明白函数图象是性质的突破口,因为它是对函数性态的直观表述.所以很多教师都利用图象来引入新课,从而得出函数的单调性和奇偶性.但由于函数性质概念的抽象性和复杂性,大部分学生往往只能通过图象简单地体会函数单调性和奇偶性等性质的存在,只是被动地接受教材和老师所讲解的性质和概念定义,并没很好地理解为什么概念要这样定义,为什么会有这样的性质,这些性质如何应用.

1.3 本文将要研究的问题

首先,通过文献分析,阐述了数学概念及其特征、分类;探究概念学习的方式及其学习心理过程;基于概念学习的心理过程和数学概念的特点对数学概念的形成式、同化式、问题引申式进行解读;并对数学概念教学的策略进行探究.

其次,通过文献从学习的角度分析了函数性质概念的特点及学生认知发展的阶段性对学习函数性质造成的困难;研读了课程标准对函数性质教学的要求,明确教学应当努力实现的目标;教材是教与学的依据,因此从教材的编排体系来分析函数性质,以期能准确地把握教学的重难点.

再次,对函数性质的概念教学进行探讨,提出函数性质教学的思路和教学的具体建议:数形结合,优化思维过程;巧妙的设置探究问题;教学方式多样化;多角度的理解概念;形成概念系,完善认知结构;渗透数学思想方法.

1.4 研究的理论基础(数学概念学习的本质)

人类获得概念的主要方式是概念的形成和概念的同化.概念的形成是指从大量的具体例子出发,归纳概括出一类事物的共同本质属性的过程,这是一种发现学习的过程.概念的同化是指学习者利用原有认知结构中的观念来理解接纳新概念的过程,这是一个接受学习的过程.不论是通过概念的形成方式还是通过概念的同化方式来获得新的概念,其最终目标都是掌握同类事物的关键属性,使学生在头脑里建构起良好的概念认知图式.

1.5 本研究的价值及创新点

只有自然,才能使其对学生而言是“可以理解的”、“可以学到手的”和“可以推广应用的”.也只有是自然的,教学活动才能向学生展现“活生生”的研究工作,而不是死的知识,才能帮助学生真正理解有关的教学内容,而不是囫囵吞枣,死记硬背;也只有是自然的,才能帮助学生领会内在的思维方法,内在的思想观念.

2.函数性质概念生成分析

2.1 从知识内在发展规律看

教材体现了“螺旋式上升”的新课程特点.初中阶段学习一次函数、二次函数,重点从直观图形和自然文字的角度,让学生经验感知和形象描述“函数的增减性”、“函数的对称性”,而没有运用符号语言进行抽象概括.当高中再次研究性质时,则将重点放在严谨地运用数学符号语言抽象概括出和“函数的单调性”和“函数的奇偶性”的一般定义.让学生在概念学习中,不断地在认知的最近发展区“感性认识—理性认识—感性再认识—理性再认识”的过程.

2.2 从初、高中衔接角度看

教材遵循学生的认识规律,立足初中学过的一次函数、二次函数和反比例函数的图象性质,从具体到抽象,从特殊到一般,引领学生经历“函数的单调性”和“函数的奇偶性”概念的发现、概括过程.从知识、学法、教法三方面为“函数的单调性”和“函数的奇偶性”概念的初、高中衔接创造了有利条件.

2.3 从培养抽象概括能力看

波利亚指出:“学习任何知识的最佳途径是由自己去发现,因为这种发现理解最深,也是容易掌握其中的规律、性质和联系.”因此在单调性和奇偶性概念的形成过程中,要引导学生通过具体函数的感知,自主观察分析、抽象概括,自觉领悟“上升、下降”和“关于y轴对称、关于原点对称”的本质属性,从而形成新的严密的“函数的单调性”和“函数的奇偶性”概念.

3.自然地教学的设计实例

自然的教学,需要一个极具强烈对比,极易产生认知冲突的问题,用这个问题去引导学生,去诱使学生主动联想、构造,在学习过程中,自己给自己提出下一步要研究什么的问题,这样才会使学生跨越认知障碍,发展自我探求知识的能力,自然生发出新的概念结构.自然的教学更重要的内涵,是指教学是依据学生学习的客观规律进行的,不是教师灌输的,而是在教师的恰当得体的引导下,学生依靠自己的经验、知识结构自然而然建构出知识.

3.1 函数的单调性教学设计

3.1.1 创设生活实际情境,引入课题

如图1为某市一天内的气温变化图:

图1

(1)观察这个气温变化图,说出气温在这一天内的变化情况.

(2)怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大,气温逐渐升高或下降”这一特征?

引导学生识图,捕捉信息,启发学生思考.

思考(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到;

(2)在某时刻的温度;

(3)某些时段温度升高,某些时段温度降低.

(4)还能举出生活中其他的数据变化情况吗?

设计意图从生活中的实际例子感知函数单调性的存在,完成对函数单调性的第一次认识.

3.1.2 利用学生已有的知识经验引入函数单调性概念

对于自变量变化时,函数值是变大还是变小,初中同学们就有了一定的认识,但是没有严格的定义,今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.

1.借助图象,直观感知

问题分别作出函数y=x+2,y=−x+2,y=x2,的图象,并且观察自变量变化时,函数值有什么变化规律?

思考(1)我们学过区间的表示方法,如何用区间的概念来表述函数y=x2图象的变化规律

设计意图从图象直观感知函数单调性,完成对函数单调性的第二次认识.

2.探究规律,理性认识

问题1 图2是函数的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗?(电脑显示,学生分组讨论)

图2

设计意图使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.

问题2 如何从解析式的角度说明f(x)=x2在[0,+∞)为增函数?

思考(1)能否在给定区间内取两个数,例如1和2,因为12＜22,所以f(x)=x在[0,+∞)为增函数.

(2)若仅仅两个数的大小关系不能说明函数y=x2在区间[0,+∞)上为单调递增函数,那举出无数个呢?

对于学生错误的回答,引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析.

如:函数y=x2(x∈[−1,+∞))中有无数个随x的增大而增大的实数,是不是也可以说函数y=x2在区间[−1,+∞)上是增函数?可这与图象矛盾啊?

使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举,从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量.

当x1,x2∈[0,+∞)且x1＜x2,由图象可知,即给自变量一个增量

函数值的增量为所以f(x)=x2在[0,+∞)为增函数.

进一步寻求自变量的增量与函数值的增量之间的变化规律,判断函数单调性.注意这里的“都有”是对应于“任意”的.

设计意图把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第三次认识.事实上也给出了证明单调性的方法,为证明单调性做好铺垫.

3.抽象思维,形成概念

问题你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

师生共同探究,得出增函数严格的定义,然后学生类比得出减函数的定义.根据函数的单调性的定义思考:

(1)由f(x)是增(减)函数且f(x1)＜f(x2)能否推出x1＜x2(x1＞x2),

(2)我们来比较一下增函数与减函数定义中∆x,∆y的符号规律,你有什么发现没有?

(3)如果将增函数中的“当∆x=x2−x1＞0时,都有∆y=f(x2)−f(x1)＞0”改为当∆x=x2−x1＜0时,都有∆y=f(x2)−f(x1)＜0结论是否一样呢?

(4)减函数的定义是否也可以进行这样修改?

(5)根据刚才的分析,你们有没有发现自变量的差量与函数值的差量之间的关系?

(6)那你们能否将定义修改地更为简洁呢?如:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,

设计意图这一阶段教师领导学生对函数单调性的概念进行了剖析,带领学生深入定义的表达形式,探索概念的本质.实现学生将概念从具体的图形表达形式化到一般的数学表达形式,实现了从具体到抽象的转化.事实上,这一阶段是对函数单调性的概念进行了第四次归纳——由数学符号叙述抽象到了形式化.

4.理解概念,操作演练

问题判断题:

(2)若函数f(x)满足f(2)＜f(3)则函数f(x)在区间[2,3]上为增函数.

(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数.

通过判断题,强调三点:

(1)单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.

(2)对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是定义域内某个区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数).

(3)单调性是对定义域的某个区间上的整体性质,不能用特殊值说明问题.

(4)函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(减)函数,一般不能认为函数在A∪B上是增(或减)函数.如图3所示.

思考如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?

设计意图让学生由特殊到一般,从具体到抽象归纳出单调性的定义,通过对判断题的辨析,加深学生对定义的理解,完成对概念的第五次认识.

图3

3.2 函数的奇偶性教学设计

3.2.1 通过学生实验引入奇函数、偶函数概念

学生动手实验,可在学生脑海中留下深刻印象.取一张纸,在其上画出平面直角坐标系,并在第一象限任画一可作为函数图象的图形,然后按如下操作并回答相应问题:

(1)以y轴为折痕将纸对折,并在纸的背面(即第二象限)画出第一象限内图形的痕迹,然后将纸展开,观察坐标系中的图形;

问题将第一象限和第二象限的图形看成一个整体,则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象,若能请说出该图象具有什么特殊的性质?函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系?

答案①可以作为某个函数y=f(x)的图象,并且它的图象关于y轴对称;②若点(x,f(x))在函数图象上,则相应的点(−x,f(x))也在函数图象上,即函数图像上横坐标互为相反数的点,它们的纵坐标也一定相等.

(2)以y轴为折痕将纸对折,然后以x轴为折痕将纸对折,在纸的背面(即第三象限)画出第一象限内图形的痕迹,然后将纸展开,观察坐标系中的图形:

问题将第一象限和第三象限的图形看成一个整体,则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象,若能请说出该图象具有什么特殊的性质?函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系?

答案①可以作为某个函数y=f(x)的图象,并且它的图象关于原点对称;

②若点(x,f(x))在函数图象上,则相应的点(−x,−f(x)))也在函数图象上,即函数图像上横坐标互为相反数的点,它们的纵坐标也一定互为相反数.

像上面实践操作(1)中的图象关于y轴对称的函数即是偶函数;操作(2)中图象关于原点对称的函数即是奇函数的.

注意

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;

②由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则−x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).

4.结束语

教法自然,意味着教学是自然天成的,不是人为的,不是伪造的,不是强加于人的.自然的教学首先是指知识是有内在逻辑的,知识的学习是依据知识发展的内在逻辑顺序依次进行,不是随意的.

与其它设计相比,本设计的引导过程、问题的提出与解决过程更加自然,有效地突破了函数性质学习的难点,学生更容易接受,因而教学效果更有效！