基于高中数学核心素养下直观想象能力的培养

广东省中山市实验中学(528404) 郭立祥

基于高中数学核心素养下直观想象能力的培养

广东省中山市实验中学(528404) 郭立祥

《普通高中数学课程标准(实验)》修订稿提出了数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析这六大数学核心素养.高中数学课堂教学也将以新的课程标准为导向开展教育教学,其中提高高中生数学核心素养作为重要考察目标.在建立以学生为主体、教师为辅的数学学习活动中,直观想象有利于促进学生的知识与能力形成,有利于提高学生分析和解决问题能力,从而养成良好数学思维习惯、创新意识、以及应用数学意识与欣赏数学之美.

高三备考教学中,充分发挥学生直观想象能力,来进一步培养学生数学核心素养,对于一些问题的解决往往会起到意想不到收获.例如全国卷理科第24题满分10分,我们把它作为必得分题组,但是在实际教学过程中,有部分学生仍然没有掌握含有绝对值不等式的解法.基于培养学生直观想象能力基础上,我们来共同探究关于解含有绝对值不等式的问题.

教学片段

例题(2016年高考理科数学试卷全国卷2改编)已知函数f(x)=|x+1|−|2x−3|.求不等式|f(x)|＞1的解集.

师:对于这一道改编的高考题,直观感觉它包含哪些知识点?又怎么来解决呢?

生1:f(x)是含有两个绝对值的函数,求解的不等式中也含有三个绝对值,可以将f(x)化为如下分段函数,再进行分类讨论.

师评论:这种方法巧妙将绝对值转化为分段函数,利用函数图象进行分类讨论,体现函数思想、数形结合思想、转化和化归思想,涉及到零点问题、穿针法、分段函数、画函数图象、解绝对值不等式等知识点.

师:那么是否有其他方法呢?

因为|f(x)|＞1,所以|x−4|＞1,解得x＞5,或x＜3,所以x≤−1;当−1＜x＜时,

因为|f(x)|＞1,所以|3x−2|＞1,解得x＞1,或所以

因为|f(x)|＞1,所以|4−x|＞1,解得x＞5,或x＜3,所以

师评论:这种解法利用函数零点来进行分类讨论,涉及到函数零点、转化和化归来解绝对值不等式.它通过零点去绝对值,把它转化成为我们比较熟悉的函数形式,这种找零点,实际上也是划分区间,变成分段函数,同学们也可以进一步画出分段函数的图象,再根据函数的图象进行分段讨论.第一种方法利用分段函数去绝对值,第二种方法通过零点来确定分段区间,第三种方法结合分段函数画出函数图象,这三种方法核心都是将绝对值化为分段函数,异曲同工之妙.

师推进1:如果同学们在考试,可能在哪些地方出现扣分?

生3:可能会出现漏了某一个区间或区间端点,也可能解题不规范.

师推进2:我们做了这一道题,自然想到如果“−”变成“+”怎么解?

变式一、(2016年高考理科数学试卷全国卷1)已知函数

M为不等式f(x)＜2的解集.

(I)求M;

(II)略.

师推进3:函数解析式有什么几何意义?

生4:f(x)可以看成点P(x,0)到的距离.

师推进4:函数解析式中含有两个无参数绝对值都解决了,那么含有参数的绝对值不等式怎么来解呢?

变式二(2015年高考理科数学试卷全国卷1改编)已知函数f(x)=|x+1|−2|x−a|,a＞0,求不等式f(x)＞1的解集;

试题分析利用零点分析法将不等式f(x)＞1化为一元一次不等式组来解;

(II)根据函数函数f(x)的两个零点函数−1和a＞0分为三个区间,根据题意列出关于a的不等式,即可解出a的取值范围.

试题解析由于−1和a＞0是函数的两个零点,因此讨论如下:当x≤−1时,

因为f(x)＞ 1,所以x＞2a+2,所以不等式无解.当−1＜x≤a时,

因为f(x)＞1,所以当x＞a时,

因为f(x)＞1,所以x＜2a,所以a＜x＜2a.综上所述,所以不等式的解集为0}.

为了进一步加强学生对于含参数不等式的知识的运用,在前三题的基础上,进行了如下六种变式.

变式三已知函数f(x)=|x+1|−2|x−a|=x−2a−1,a∈R求关于x的不等式f(x)＞1的解集.

变式四已知函数f(x)=|ax+1|−2|x−1|,a∈R求关于x的不等式f(x)＞1的解集.

变式五已知函数f(x)=|x+1|−2|ax−1|,a∈R求关于x的不等式f(x)＞1的解集.

变式六已知函数f(x)=|x+1|+2|x−a|,a∈R求关于x的不等式f(x)＜1的解集.

变式七已知函数f(x)=|ax+1|+2|x−1|,a∈R求关于x的不等式f(x)＜1的解集.

变式八已知函数f(x)=|x+1|+2|ax−1|,a∈R求关于x的不等式f(x)＜1的解集.

师:这六道变式题在变式二的基础上,函数包含了两个绝对值的和与差,以及解含参数的绝对值不等式f(x)＜1与f(x)＞1.

教学反思本节的教学目标是利用学生的直观想象来培养学生高中数学核心素养,教学过程中从求绝对值不等式

的解集出发,类比求绝对值不等式

的解集,联想到求含参数绝对值不等式

的解集,推广到求含参数绝对值不等式

的解集,再拓广到另外六种变式,从而不断挖掘题目的内涵,拓广其外延,增强学生的直观想象能力,达到培养学生数学核心素养目的.通过数学学习过程中的知识、方法积累与掌握、运用与内化,创设不同情境让学生经历数学多角度思考问题,用数学思想来分析问题,用数学方法来解决问题,从而形成具有良好数学核心素养的能力、习惯和品质等.