初中数学运用SOLO分层法进行评价的例题分析*

广东省湛江一中培才学校(524037) 李雪迎

广东省教育研究院(510035) 吴有昌

初中数学运用SOLO分层法进行评价的例题分析*

广东省湛江一中培才学校(524037) 李雪迎

广东省教育研究院(510035) 吴有昌

对学习者学习质量的评价一般包括两个方面:量化方面(学习者回答细节的数量),以及质性方面(这些细节组织得怎么样),而SOLO分层法是评价学习者学习质量的有效手段.根据学习者在解决学习任务时表现的不同,SOLO分层理论将学习成果划分为五种水平:前结构层次、单点结构层次、多点结构层次、关联结构层次、拓展抽象层次.本文拟从SOLO分层理论的视角,通过两道例题(代数题、几何题各一道)对学习者的回答进行分析,探究学习者对相关知识的理解水平,并对后期教学提出建议.

1 问题、典型回答及相应的评价

1.1 问题1

现对学习者的回答进行收集、分析,并做了以下分类:

(1)多点结构层次:

较多的学习者采用这种回答方法,学习者掌握了多个知识点,能使用完全平方公式(和的平方、差的平方)、分式的乘方运算及分式的混合运算法则进行计算,但由于计算量较大,对最终结果的完成带来一定的困难.

(2)关联结构层次:

这类回答引入参数表示式子,并类比、对比了和的完全平方式和差的完全平方式,利用(m−n)2、(m+n)2、m2+n2、4mn四个代数式之间的关联.与多点结构层次相比,这无疑是计算量、书写量上的优化.

(3)拓展抽象层次:

从结果入手,观察要求值的式子:

根据公式法分解因式得,x2−y2=(x+y)(x−y).

对已知条件观察:x,y式子间的特点,第一项均为第二项恰好相反.所以

此类回答在多点结构层次的基础上,更加注重对于已知条件和要求值的式子的双重观察.根据求值式子的结构特征,利用平方差公式因式分解,看起来多行的一步,却利用了已知条件的特殊性(进行加或减运算均可以消去式子的一部分),有效地达到了简化计算的目的.

能完成拓扑抽象层次回答的学习者在思维上具有明显的系统性优势,他们可以将相关知识关联起来,在对于相关题型的举一反三、变式练习中,均能充分突显优势.

1.2 问题2

如图1,在平面直角坐标系中放入一块等腰直角三角板ABC,∠BAC=90°,AB=AC,C点的坐标为(2,6),点D在x轴的负半轴,并以AD为边作等腰直角三角形ADE,∠DAE=90°,连接EC交y轴于点M.求证:EM=CM.

图1

图2

图3

现对学习者的回答进行收集、分析,并做了以下分类:

(1)前结构层次:

由于本题有一定的难度,有一半的学习者没有作答或是做错了.

(2)单点结构层次:

在本层次中,20%的学习者尝试直接去求EM和MC的长度,但因没有具体的计算数据而放弃解答;30%的学习者观察到EM和MC恰好是△AME和△AMC的边,但并没有足够的条件去证明△AME和△AMC全等;50%的学习者构造了以EM和MC为边长的三角形△EMF和△DMG(如图2),寻找全等的条件时却因找不到一组相等的对应边,而放弃解答.

本层次的学习者对于证明线段相等有一定的积累并做了相应的尝试:通过计算数量比较的方法;去寻找、构造三角形全等并利用全等三角形的性质(对应边相等)去解决.学习者不能完成解答的原因主要体现在:过于直观的去研究要证明的结论、缺乏足够计算能力的支持、不能很好利用题目中已有的条件.

(3)多点结构层次:

如图 2、图 3,先证得△AOB≌△CGA,同理得到△AOD≌△EFA;因为C点的坐标为(2,6),得A点的坐标为(0,2),B点的坐标为(4,0);设OD=t,易得点E坐标(−2,2+t);根据C、E两点求直线CE解析式,进而得直线CE与y轴交点M坐标为得点

因为

确定点M为线段EC中点.

对比单点结构层次,本层次的学习者对于三角形全等的判定方法、直线解析式的求法、两直线交点坐标的求法和中点坐标公式掌握较好,并能利用线段中点坐标与端点坐标之间关系最终得到结论.此种回答的不足之处一是计算量较大,对学习者的计算能力的要求较高;二是学习者证明了两次全等却没法将全等的结论进行有效的关联.

图4

图5

图6

(4)关联结构层次:

如图 4,图 5,先证△AOB≌△CGA,得CG=AO;同理得到△AOD≌△EFA,得EF=AO;等量替换得CG=EF;再证明△EMF≌△CMG,得EM=CM.由于证明了三次三角形全等,过程较为繁琐,学习者提出还可以使用面积法,将证明三角形全等的次数减少一次,方法如下:

因为CG=EF,根据同底等高的三角形面积相等,即MA·EF=MA·CG,得到S△AMC=S△AME;而△EMA和△CMA同时看成同高的两个三角形,即EM·AH=CM·AH,面积相等的两个三角形因为共高所以底相等,即EM=CM.

这个层次的回答能有效地解决这个问题,学习者对三角形全等证明中的常见模型——“两山对峙形”和“漏斗形”有深刻的认识,并能很好的利用题目中现有的条件去处理图形之间的联系,答题中体现了数学等量替换和转换思想.学习者在完成答题之余,还能去思考优化计算量、简化答题过程的方法,这是学习者思维具备一定发散性的体现.

(5)拓展抽象层次:

如图6,在线段OB上截取BN=AM,连接AN.先证△MAC≌△NBA,由全等的性质得

根据同角的补角相等,得到∠DNA= ∠AME;再证得△EAM≌△ADN,由全等的性质得AN=EM;等量替换得到EM=CM.

本层次的学习者能发掘本题的一些隐藏条件——顶点落在坐标轴上的等腰直角三角形:1.边相等:AC=AB,AE=AD;2.同角的余角相等:

对辅助线的添加有两点妙处,一是完美地利用好了上述两点隐藏条件,将CM转移到AN处;二是由全等的性质和等角的补角相等,为构造下一组三角形全等创造了必要条件.

此外,学习者还能在证明过程发现BD和AM的数量关系:BD=2AM.对比关联结构层次,此层次的学习者的思维反应呈现出较高的一致性、整体性和抽象性.

2 启示及建议

2.1 启示

通过对上述两道例题的分析,可以体现SOLO分层法对学习者的数学学习状况能进行有效评价和诊断.研究表明,学习者的思维水平由单点结构发展到多点结构只是一个知识存储与提取量的变化,属于量的积累.教师可以通过多种方式的对学习者进行适当的引导(比如口头抽查、书面抽测、同类型题目的反复加强练习),使学习者尽可能多的接受或回忆起相关数学概念,促使思维水平达到多点结构,为后续教学做铺垫.要想使思维水平由多点结构发展到关联结构,学习者要经历思维由简单机械记忆到对提取的知识进行思维整合的过程.在这个过程中,教师要想方法帮助学习者找到不同知识点的关联点,加强学习者学习者抽象与概括能力的训练,训练学习者分析问题的全面性和推理的严密性,教给学习者探究的手段,引导学习者总结分析数学问题的思维方法.

2.2 几个问题

(1)由于SOLO分层法评价的五个结构水平主要是一种质的描述,在教学实际中如何识别不同的学习结构水平,是教师遇到的最大难题,特别对于一些没有经验的教师来说,要用SOLO分层法对学习者的回答进行判断是有一些难度的.

(2)著名心理学教授比格斯(Biggs)所做的研究表明,那些喜欢熟记事实细节并使用机械学习策略的学生在传统的测试中获得了高分,但他们却同时获得了很低的SOLO等级.在我们目前的应试教育的环境下,如何去科学地设计一份试题,既能很好评价学习者的思维能力,又能肯定学习者的个人努力、勤奋?SOLO分层法在开放性问题中能非常有效地评价我们学习者的思维水平,但如何根据本学科特点将评价结果应用于实践?

2.3 对今后教学的改进建议

在通过SOLO分层法对学习者进行评价后,教育者应根据评价结果去确定教学目标,调整教学进度,同时对学习者的进行学习任务的分层布置,以便更加合理有效地安排教学.例如:若学习者的平均水平处在多点结构,那么在以后的教学中要加强知识点之间的联系,指引学习者向关联结构水平迈进.同时,通过此类划分,学习者可以发现自己当前的学习状态,明确学习的正确方向.

3 结束语

本文从分析两道数学题出发,应用SOLO分层理论对初中数学中学习者的学习状况、思维水平进行了有效的评价,评价的结果对教育者教育方案的实施、学习者学习目标的确定、学习方式的调整、学习状态的改善均有较强的指引作用.值得注意的是,与任何教育目标分类理论一样,SOLO分层法也不是万能的,如在某些强调基本概念与基本技能学习的领域里,它的作用就难以充分发挥.

*本论文是广东省教育科研“十二五”规划2013年度研究一般项目(批准号2013YQJK246)课题成果之一