例谈初三数学复习课的有效变式教学

广东省广州市育才中学(510000) 梁结文 毛晓琴

例谈初三数学复习课的有效变式教学

广东省广州市育才中学(510000) 梁结文 毛晓琴

作为一名教师,要教好学生,不是只要求自己对数学知识有整体的认识和把握,更重要的是让学生对数学知识有整体的认识和把握,但当前的初三的数学复习课的知识引入,大部分老师都采用自己讲或者提问几名学生,即知识的网络体系基本上是按老师的思维习惯来阐述的,根本无法促进每名学生对自我知识体系的建构,更无法让学生有效地进行知识的迁移和转化.所以,教师应设计更有效的复习教学,而变式教学往往是一种很好的有段.本文主要从九年级的一节《全等三角形》的复习课进行分析举例.

好的开始是成功的一半,故初三数学复习课的有效教学,首先由有效引入谈起.课堂引入是一座能在知识上承上启下、在学法上温故而知新的桥梁.有效的课堂引入应建立在学生的主观愿望和知识经验基础之上,教师向学生提供充分的从事数学活动和交流的机会,帮助他们在自主探究的过程中理解数学知识和掌握数学基本技能.

1 课题引入——万变不离其中

问题1.1 如图1,点C在直线XY上,AC⊥CF,AC=CF,作AD⊥XY于D,FN⊥XY于N.

(1)求证:∠A= ∠FCN;

(2)求证:AD=CN,DC=FN;

(3)已知DC=2AD,试求tan∠FCN的值.

图1

图2

由基础题目引入面向了大部分学生,不仅可以激发学生的学习兴趣,而且学生在独立完成题目时发现三角形全等的条件,顺势回顾了三角形全等的证明要素和方法.在解题时,老师引导学生发现题目中线段之间的垂直关系,建立线段“三垂直关系”的数学模型,为复习课中变式做准备.

问题1.2 如图2,一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B,以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC,∠BAC=90°.求过B、C两点直线的解析式.

问题1.2是问题1.1的推广,把问题1.1中的数学模型有机地与直角坐标系结合起来.通过图形的比较,寻找、构造辅助线,让学生学会运用问题1中的“三垂直关系”建立模型解题,感受问题1.1、1.2中的通性通法.这时进行的课堂引入设计充分暴露知识之间得到联系,使问题建立在旧知识之上,但又不陌生,有思考的余地.

问题1.3 如图3,BC在直线上,分别以△ABC的 边AB、AC为边朝外作正方形ABGH和ACFE,连结FG,P为FG的中点,作直线PK⊥BC,垂足为K.求证:

图3

问题1.3来自于一道中考压轴题,学生面对该类问题显得无从下手.老师与学生一起分析题目的条件,适当地设置路标如图4,联系中位线知识,构造辅助线.尝试让学生在解题过程中从复杂的图形背景中剥离出基础图形,发现在上题中已建构的“三垂直线段”数学模型如图5.由繁入简,在由简得繁,深化题组中蕴含的数学通性.

图4

图5

问题1.1从基础题目入手,紧紧抓住本节课的复习重点——三角形的全等.在解题讲题的过程中,渗透对知识点的复习.问题1.2、1.3通过对简单问题进行数学背景的变化,由简入难,不仅可以激发学生的学习兴趣,而且让学生投入到数学的发现过程中,感受数学变式中的不变模型.通过变式教学可以更好地对已建数学模型进行巩固,也为下一组变式题组教学铺下探究之路.

变式教学不能空泛而述,设计的变式与引导的方向要能促进学生不断进入自己的“最近发展区”.对上一题组中已被学生内化的旧题进行改造、引申、变化,引导学生在不断探索新知识的过程中,更为迅速地将新知识纳入原有的知识体系中,进一步明白知识之间的联系,进一步掌握知识体系中的数学技能.另外用变式改题的方法,也能提高学生的学习积极性与求知欲望,在学生的学习激情下,打破了昔日复习课上的沉闷.

2 课题深入

2.1 说一说,发现变换

将图6通过怎样的变换,分别可以对应得到下列哪个图形?并说出变换过程;

通过独立思考或小组合作讨论,引导学生发现图形中的变换.每组的图形可以存在不同的变换关系,但变换后线段的垂直关系仍然存在.图形的变换可作为“三垂直线段”模型的一种推广,也可在变换中发现模型的共性.

2.2 找一找,发现模型

(1)如图10,已知E、F分别是正方形ABCD的边AD、AB上的点,连结BE、CF,若BE⊥CF,求证:BE=CF.

(2)如图11,ABCD是正方形,EF⊥PM,求证:EF=PM.

(3)如图12,在△ABC中,AD、BE是高,若∠ACB=60°,∠BAC=75°.

求证:△BDH≌△ADC.

图10

图11

图12

学生在解题的过程中,可发现每题中相应的变式中的基础图形.在变化的图形背景中,发现题目的通性、通法,体现变式过程中的多题一法.

课题深入是引入课题的水平变式.在学生知识的“最近发展区”进行变式教学,归纳、总结出一类问题基本解题方法.在讲题的过程中,注重解题思路的分析,充分暴露思维过程,让学生主动探索,让学生自主分析,让学生在系列变式中把知识更牢固地记忆在脑里而不是浅层记忆.教师利用知识间的迁移规律,让学生对同类知识进行类比,把变式教学变得更活跃,课堂更有效.

初三数学复习课不只是把以前学过的知识再回顾一遍,重要的是把学过的知识的相互联系搞清楚,把以往所学的知识综合起来,形成有机的整体,从而提高学生的分析与解决问题的能力.所以,复习课的变式教学,可以进行垂直变式,把相连的知识点通过变式有机地联系在一起,

3 课题推广

3.1 弱化条件“AC=CE(线段相等)”,则结论由三角形全等弱化为三角形相似

问题3.1.1 已知:如图13,在Rt△CAB和Rt△ECD中,点D在边BC的延长线上,且∠ACE= ∠B= ∠D=90°.求证:△CAB∽△ECD.

图13

问题3.1.2 如图14,正方形ABCD的边长为4 cm,点P是BC边上不与点B,C重合的任意一点,连接AP,过点P作PQ⊥AP交DC于点Q,设BP的长为xcm,CQ的长为ycm,求点P在BC上运动的过程中y的最大值.

图14

通过课题引入、课题深入两个环节的探索解题,学生已建立“三线段垂直”模型的认识,并且掌握了一般的数学解题技巧.对于课题推广设计目的在于由全等知识过度相似知识,实现知识的连通性.让学生发现题目之间的共通点,拓展基础模型的应用.

3.2 弱化条件“直角”,则“全等”结论仍然成立

问题3.2.1 如图15,在和中,点D在边BC的延长线上,AC=CE,且 ∠ACE= ∠B= ∠B.则△ABC≌△CDE.

图15

图16

问题3.2.2 如图16,为等边三角形,点D,E,F分别在边BC,CA,AB上,且△DEF也为等边三角形.证明:BD=CE

3.3 同时弱化条件“线段相等”和“直角”,则结论由全等弱化为相似

问题3.3.1 如图17,在△ABC和△CDE中,点D在边BC的延长线上,∠ACE=∠B= ∠B.求证:△CAB∽△ECD.

图17

问题3.2.2、3.2.3可作为本节课堂上的延伸,提高学生的数学能力,进一步加深对“三线段垂直”数学模型的认识.

课题推广通过对课题引入的条件或结论的垂直变式,把全等三角形的模型转化为一般的相似图形,将学生思维中已建立的数学模型进行变化、拓展,让学生把所学的知识纵向加深、横向沟通.变式把固定的数学模型变活,在解题过程中,发现数学“定”中的变,“变”中的“同”,感受数学的通性通法.

4 关于复习课变式教学的思考

4.1 选题—变式教学的基础

选题就是要在准确把握考试范围和要求的基础上,紧紧围绕本节课的教学目标,紧扣考试的重点题型进行选题,并不是题目的难度越大越好.一道好题目之所以能引起大家的共鸣,不是因为其有独特的解题技巧,而是其所蕴含的数学思想.

课题由简单基础图形题目引入,主要考查了学生全等三角形的判定证明、一次函数解析式的应用求解、梯形的中位线等知识.三小题中蕴含了同一的数学思想,运用了同一的数学方法,建立了相同的数学模型.教师在变式教学中,深入发掘了简单题目的内涵和外延,不断地整合知识点,由易到难、由单一变复杂,让题目所考查的问题更加清晰、明了,让学生所获的知识更加全面、深刻,真正达到解一题会一类的变式训练目的.选择具有通性、通法的题目进行变式教学讲解,可以更加了解中考试题出题人出题的目的和出题的构造过程,能充分发挥中考试题的教学功能,从而更好地提高变式教学的效率和质量.

4.2 变题—变式教学的升华

变式教学在教学设计上要突出一个“变”字.用“变”来揭示问题的本质,用“变”来展示认知的过程,用“变”来培养学生以不变应万变的辩证唯物思想.变式教学就是要引导学生观察分析、变异出新、优化解题、拓展创新,使之形成一种技巧.题目的变化过程,是学生一步一步尝试、感受变化的过程,是学生一步一步反思、总结的过程,是学生从“变”的现象中发现“不变”本质的过程,是学生从“不变”的本质探索“变”的规律的过程.变题让学生形成了良好的认知结构,培养了一定的迁移能力.

课题引入的三小题让学生在不同背景下的题目中寻找“变化”中的“不变”,构造解题的数学模型.课题深入由图出发,通过数学的变换变化,在学生的思维“最近发展区”进行拓展延伸,让学生在“不变”中又发现“变化”的规律.课题推广由题出发,通过条件或结论的变化,抓住了有效教学的“生长点”,不仅仅以题论题,而且拓展了学生思维的宽度和深度.

变题要有明确的意图,要有一定的针对性,既要注意一题多解、一题多变和多题归一,又要注意变式中数学认知策略的渗透和提炼.变题要指出它与原题的联系以及学生应从中获得的注意点与启示点,让学生明白再复杂的问题也是由简单的问题变化而来,也是与简单的问题有着共同的数学思想,消除学生学习数学的为难情绪,提高学生数学的解题能力,这样才能是“授人以渔”而不是“授人以鱼”.

总而言之,数学复习课的有效变式教学,是数学复习课的有效手段.