等差数列和等比数列的对比分析

丁一鸣

摘要：本文先分别对等差数列和等比数列的概念进行简述，进而在实际例题的基础上，对等差数列与等比数列相关问题的解答过程进行详细阐述。

关键词：等差数列；等比数列；对比分析

中图分类号：G634.6 文献标识码：A 文章编号：1672-9129（2017）12-0210-01

Abstract： in this paper， first the concept of the series of equal difference and proportion， respectively， and then on the basis of actual examples， the problems associated with the geometric sequence arithmetic progression solution process in detail.

Key words： arithmetic sequence； Geometric series； Comparison and analysis

数列知识是高中数学知识结构中的重点内容，而等比与等差是其中的重要知识点。在对等差和等比数列进行学习的时候，我们需要将这两种数列的概念进行清楚的把握，要在相关题目的解答以及性質中区分两者，进而提升数学知识的学习能力。

1 等差数列和等比数列的概念

所谓等差数列，其主要是指在第二项开始，其中的每一项都与其前一项差为同样一个常数的数列。在我们学习数列知识的时候，数学教材、试题等都经常使用AP来表示。其中的常数是等差数列的公差，而公差经常使用字母d进行表示。等差数列是比较常见的一种数列，就我们基础到最多的是1，3，5，7，9......2n-1，此数列的通项公式是an+a1+（n-1）*d。通项公式主要是指若是数列的前n项an和n之间的关系能运用一个规范的公式进行表示，这个公式就是同向公式。有些数列通项经常可以使用两个或者是两个以上的式子进行表示。没有同向公式的数列也存在的，比如质数构成的数列。除此之外，常见的等差数列还有2，4，6，8......等等。等差数列的定义式为an-an-1=d（n≥2），在这其中公差d是一个常数，而n为一个正整数。

所谓等比数列，其主要是指在第二项开始，其中每一项与其前一项之间的比值都是用一个常数，这种是数列就是等比数列，在在我们学习数列知识的时候，数学教材、试题等都经常使用GP来表示等比数列。在这其中的常数是等比数列的公比，公比经常使用字母q来进行表示，而等比数列a1≠0。等比数列中的每一项都不是0，而在q为1的时候，an是常数列。在我们学习过程中，比较常见的等比数列是1、2、4、8、16……2^100等，而等比数列的定义式为 =q（n≥2，an-1≠0，q≠0）.在我们的实际生活中，等比数列被广泛运用。比如在银行中有一种叫复利的利息支付方式，其是将前一期利息本金加载一起当做本金，再计算下一期的利息。[3]

2 等比数列与等差数列问题的解析

在对等比数列和等差数列相关的问题进行解答的时候，最重要的是要掌握两种数列的性质和特点，并且要对其中的公式进行灵活运用，然后再详细地分析问题，在问题提供的各种条件信息基础上正确的解析问题。

2.1 等差数列问题的解析

等差数列题型在我们日常的习题、试卷中经常出现，同时也是高考中常见的一种题型。等差数列还会和高中数学其他的一些知识联系在一起，以此构成一种综合性的问题，比如和最值问题与函数问题相结合，以此来对学生的知识掌握是否全面进行考查。在对这种等差数列的问题进行解答的时候，需要先对题干中的内容进行详细分析，在掌握题目提出的问题和等差数列理论知识基础上进行解答，以此提升等差数列问题的解答效率。就以下面这道题目为例子：

例题1：若是（m-n）2-4（n-x）（x-m）=0，试着证明m，n，X是等差数列。

解析：这道题目若是使用普通解题方式会十分复杂，在对这种等差数列的证明题进行解答的时候，可以使用构造法的方式把题目中条件与结论综合在一起，这样就简化了问题。综合题目建设相关的方程式：（n-x）t2+（m-n）t+（x-m）=0，假设△=（m-n）-4（n-x）（x-m），这样就可以得出△=0。则建设的方程式中实数根就是一样的，所以t值为1，构建的方程式两个实数根都是1。然后再使用韦达定理得到m+n=2x，这样就可以直接证明题目中的m，n，x是等差数列。这种等差数列的题目对我们而言存在一定的难度，但是只要我们能够掌握等差数列的相关特性与性质，并且使用一些特殊的方式，则就可以让解答过程更加的简单，并且很快的解答出正确答案。[2]

2.2 等比数列问题的解析

等差数列题目也是以各种形式出现在我们的日常习题、考试中，尤其是在高考试卷中占据了一定的分值，对往年的高考试卷进行分析，通过对等比数列相关问题的解答，可以积累一定的解题经验，并且掌握相关的解题思路。

例题2：定义一种运算 对任意n∈N*都满足一下运算性质：2 2016=1；（2n+2） 2016=3[（2n） 2016]，根据这些条件求出2016 2016的值。

解析：在读题中我们发现（2n） 2016和[（2n） 2016]结构一样，前面为n，而后面则是n+1，针对这一点我们在解题的时候就可以将其看作为某个数列的相邻两个项，这样就可以很快的切入到解题中。设置an=（2n） 2016，则从题干中的条件中就可以知道a1是1，同时也可以知道an+1=3an，也就是 =3，其中n属于正整数。因此数列是公比为3的等边数列，这样就可以得出an=a1·3n-1，这样就可以得到2016 2016=（2×1008） 2016=a1008=31007。这道题的关键在于使用了换元的方式，把不熟悉的问题转换为自己熟悉的等比数列问题，这样可以让问题的解答更加简单。[1]

3 结束语：

等比和等差数列是高中数学知识中的主要构成部分，在对这两方面的知识进行学习的时候，我们需要区分两者之间的差异。首先要从概念上对两者的性质进行了解，然后在解题过程中了解两种问题解答的方式，以此来积累自己的经验，并且加深自己对等差数列与等比数列的记忆。

参考文献：

[1]刘立强. 构造等比数列巧解题[J]. 高中数理化， 2016（z1）：33-34.

[2]刘显奋. “构造法”在高中数学解题中的应用——以等差数列教学为例[J]. 广西教育， 2016（14）：155-156.

[3]姚祥利. 对等差数列与等比数列的几点探讨[J]. 科技视界， 2017（35）.