例说复习课的解题教学设计

胡素芬

（上海民办华二初级中学）

例说复习课的解题教学设计

胡素芬

（上海民办华二初级中学）

面对初三数学复习课时间紧张和任务繁重的矛盾，如何提高课堂效率值得深思.从讲评2017年1月嘉定区一模试卷第23题的数学复习课的部分实录出发，浅谈如何进行一题多解、多解归一和一题多变，并从中逐渐引导学生跳出“就题论题”的困境，通过反思进行“以题论法”，逐渐发展为“以题论道”.

解题教学；复习课；课堂效率

在初三第二学期的复习课中，大量的习题讲评课和试卷分析课无法回避.怎样改变讲评试题时教师“口若悬河”而学生“昏昏欲睡”的情况呢？怎样教会学生根据题目呈现的信息，选择恰当的角度切入，找到线索，分析问题，进而解决问题？结合2017年嘉定一模试卷的第23题，从一节试卷讲评课出发谈谈如何从一道题目的讲评过程进行初三后期复习课和试卷讲评课的设计.

一、教学过程简介

1.呈现试题

在△ABC中，点D在边BC上，且满足CA2=CD·CB，如图1所示.

（2）如图2，以点A为圆心，AB为半径画弧，交AC的延长线于点E，连接BE，延长AD交BE于点F.求证：

图1

图2

2.分析和解决问题

（1）分析：这是一个典型的共角、共边、形相似的基础图形.由已知条件中的“CA2=CD·CB”，加上图形条件“∠ACD=∠BCA”，就可以毫无悬念地得到结论“△ACD∽△BCA”.

证明：因为CA2=CD·CB，

又因为∠ACD=∠BCA，

所以△ACD∽△BCA.

（2）分析：观察结论.需要求证的结论的左边部分是共线的两条线段的长度之比，无论是证明还是相关计算都应该将这两条共线的线段进行转化.转化的途径有两条，寻找或构造相似三角形.基于以上分析，尝试过点B作AE的平行线，交AF的延长线于点G.不仅构造了基础图形，还构造了另一组共角、共边的相似三角形.

证明：过点B作AE的平行线，交AF的延长线于点G，如图3所示.

图3

因为△ACD∽△BCA，

所以∠CAD=∠CBA.

因为BG∥AE，

所以∠G=∠CAD.

所以∠G=∠CBA.

又因为∠BAD=∠GAB，

所以△ABD∽△AGB.

因为BG∥AE，

又因为AE=AB，

3.方法迁移，一题多解

波利亚说过，没有任何一道题是可以解决得十全十美的，总剩下一些工作要做.剩下的工作就是解题后的反思交流，引导学生在课堂上进行反思交流不仅可以促进学生对数学问题的本质的理解，还可以优化解题策略.

苏霍姆林斯基说过，在学生的脑力劳动中，摆在第一位的不是记住别人的思想，而是让本人进行思考.面对看似比较困难的第（2）小题，牢牢抓住上述分析过程中的转化途径，还有没有其他等价的或者类似的证明方法呢？学生的数学思维积极、活跃，在课堂上暂时沉默片刻之后出现了添加其他的平行线来研究、分析这个问题的多种方法.

方法1：如图4，过点B作BG∥AD，交CA的延长线于点G.

图4

易证△ABD∽△BGA.

因为BG∥AF，

方法2：如图5，过点E作CB的平行线，交AF的延长线于点G.

图5

易得EG=AD.

方法3：如图6，过点E作AF的平行线，交BC的延长线于点G.

图6

通过证明△CAD∽△CBA，

易得AD=DG.

仔细观察作为研究对象出现的燕尾形这一基础图形的变化图形，组成这一图形的基本要素中有六个点，分别是点A、点B、点C、点D、点E和点F.按照解决燕尾形的一般规律，过每个点至少都有2种平行线的添加方法，那么通过添加平行线解决此题的方法至少有十二种.

前面的四种证明方法恰好是过点B添加平行线和过点E添加平行线的几种方法.

考虑到有限的课堂时间和多种证明方法之间的矛盾，课堂上除了让各种不同证明方法的学生自由、自主发表意见和观点外，教师应该利用几何画板软件将可能产生的第二种方法提前制作成课件.

这个课件既可以作为学生发言的辅助，又可以将来不及讲的方法做一个效果展示，还可以将多种证明方法进行归类小结，在学生进行课堂小结时进行提示和引导.

下面的图7～14展示的分别是过点A、点C、点D和点F添加平行线构造相似三角形和平行线分线段成比例的基础图形，从而将BF和EF这两条共线的线段比问题转化成相似比和其他线段比的求解问题.

图7

图8

图9

图10

图11

图12

图13

图14

4.课堂中学生的“另类”思考

本节课执教教师在巡视学生练习的过程中发现，有的学生并没有局限于添加平行线以达到构造相似三角形的目的，而是另辟蹊径利用面积法通过分析、研究三角形的面积证明此题，于是教师鼓励想出这个方法的学生站到讲台上，介绍自己的证明方法.

证明：过点D作DH⊥AC于点H，作DN⊥AB于点N，过点F作FG⊥AC于点G，作FM⊥AB于点M，如图15所示.

图15

根据（1）的结论可知∠CAD=∠ABC.

又因为∠AHD=∠BND=90°，

所以△ADH∽△BDN.

这名学生讲解之后，教室里沉默了片刻，然后响起了掌声.在之前的课堂上，每种方法呈现后，在教师点评到师生共同点评的启发之下，已经有学生自主进行了证明方法的比较.面积法与添加平行线法比较而言，虽然选择了不同的辅助线，证明过程中用到“等高的三角形面积比等于底之比”等面积比与线段比之间的转化，但是证明过程、判定相似三角形和利用相似三角形性质定理证明线段成比例的部分相同.虽然证明的切入点不同，但是对于转化和化归的数学思想的应用是相同的.

面对不同思维层次的学生，以及不同的学习和升学目标，教师合理选择教学资源，精心准备教学资源的使用角度和使用方法，采用多样化的教学方法精讲例题的过程中，让每位学生经历添加平行线构造基本图形的过程，体会勇于挑战克服困难的喜悦，感受数形结合和转化的数学思想，领悟研究燕尾形的通法和面积法之间的区别和联系，享受多样性、灵活性的数学思维带来的体验，对于多种解题策略的优点和缺点进行比较，逐渐学会优化解题策略.

5.变式训练

变式1：（2016年嘉定一模卷第25题）已知：在△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AC的延长线上，且DB2=DC·DA，如图16所示.

图16

（2）如果点E在线段BC的延长线上，连接AE，过点B作AC的垂线，交AC于点F，交AE于点G.

①如图17，当CE=3BC时，求的值；

②如图18，当CE=BC时，求的值.

图17

图18

变式2：在△ABC中，AB=BC，点D在边BC上，点E在边AD上，且满足CA2=CD∙CB，

（1）求证：CD=CE；

（3）当BD=CD时，求S∆CDE∶S∆CAE的值.

变式3：如图19，点P是∠MON的平分线上一点，以点P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OP2=OA∙OB，且∠MON=60°.

图19

（1）求∠APB的度数；

（2）若OP=4，连接AB，求S∆AOB.

二、教学启示

数学课固然离不开数学题，但是一节有效的数学课绝对不仅仅只有数学题.一道令人回味的例题或试题对于课堂教学来说，不仅能够调动学生的学习积极性，提高课堂教学效率，而且能够发展学生求新、求异的数学思维，提升学生分析问题和解决问题的能力.

当然，初三数学的复习时间有限，需要复习的中考知识点众多，时间紧和任务重貌似成为了一组不可调和的矛盾.但兵法有云：伤其十指，不如断其一指.所以，与其一节课设计成面面俱到，满堂灌输，不如选择具有代表性的典型例题，多方位、多层次使用这些例题，引导学生展开一题多解的思考，进行多解归一的小结，引导解法的比较和图形的归纳，逐步让学生体会：虽然证明过程中添加不同的辅助线，但是添加辅助线的基本思路和构造的目标是基本一致的.在课堂教学中坚持一题多解的发散和多解归一的升华，有助于学生形成分析问题和研究问题的常规思路.综观上述罗列出来的各种证明方法，看似不一样，但是为了研究共线的两条线段的长度比，添加平行线构造相似三角形的目标是一致的.

习题课的课堂教学，例题教学是关键.例题与习题的关系是纲目关系，纲举则目张.在本节课的例题教学中，教师通过基本图形构造法引导学生借助图形直观感悟数学的转化思想，强化常规解题策略.在本课的设计中注意了以下几点.

1.激活、检索与此题相关的数学知识

知识的激活、检索缘于题目给出的已知条件和图形等信息.例如，结合题目的条件，第（1）小题的问题和“共角、共边型”相似三角形的图形，基于学生已经掌握的相似三角形的相关性质定理等知识，由第（1）小题的结论联系将共线的两条线段比问题转化成相似三角形的线段比值问题.

2.在难点处启发思考

思考源于问题，而思考需要时间.课堂教学时教师要沉得住气，给学生留有充分的思考时间，并能在难点处进行适当启发.例如，大多数学生对于第（2）小题感到困惑，分析、研究的过程中通过适当的设问和追问启发学生的思路，明确添加辅助线的用途；利用多媒体课件进行动态演示，有意识地引导生生交流，与同伴思维分享和经验交流等.

3.及时归纳思想方法和解题策略

从方法论的角度考虑，数学习题教学，意义不在于习题本身，而在于体会数学思想方法，学习分析问题和解决问题.习题仅是学习方法和策略的载体，及时进行方法和策略的总结不仅重要而且必要.所以设计这节复习课的重点不仅在于一题多解的多样性，也不仅在于一题多变的灵活性，更大的意义在于通过解题教学，学生逐渐领会添加辅助线构造基本图形的构造法的价值，以及贯穿于分析问题和研究问题过程中各种基本图形的分解与组合、抽象与具体中的双向数学思维训练.

4.通过变式训练深化数学思想方法的理解

解题教学的目的是通过少而精的例题教学，既能够复习巩固学生学过的数学知识，又能够在解题的过程中发展学生的思维能力.适当地开展一题多解和一题多变是实现解题教学这一目的的有效方法和常见途径.通过一题多变可以使学生熟练掌握与此题相关和相似的一系列问题，能够以一道题为载体解决多个或多类数学问题，有利于学生发现各种类似问题之间的联系和差别，从而更好地体会由条件产生的细微变化对结论造成的影响.例如，本课设计的变式练习部分，通过一题多变的练习题组设计，学生能够高效地复习数学知识，自主发现数学知识之间的内在联系，加深对相关数学知识的纵向理解，从而达到“讲一题”“懂一串”“会一类”“通一片”的喜人局面.

三、结束语

以一道模拟题为例进行一题多解和一题多变的课堂教学设计，得到由共角、共边的相似三角形引发对共线的线段长度比的探讨，并逐渐深化，使得这一系列题组形式逐渐完整，相对应的数学思想得以深化.而一题多解和一题多变使得就题论题的单维度教学过程逐渐演变成以题论法，研究符合某种特征的图形的特点，进而根据这些特点寻找解决这一类问题的通法、通则；继续发展成以题论道，以解题教学为载体感受转化思想的魅力，体会构造法的精妙，从每个课堂设计环节的细微之处对学生传播勇于尝试不怕失败的正能量！

在数学教学中，无论按照怎样的标准选择教学方法，无论准备什么样的教学资源，在课堂上使用各种教学手段调动学生的积极性，引导学生经历发现问题、分析问题、解决问题的过程是不会变的，引导学生反思解题过程、升华解题方法、提升学习品质是不会变的，引导学生对待事物能够进行科学分析和探究活动，逐渐形成不怕艰苦、孜孜不倦的学习态度和生活态度是不会变的！

［1］程鹏.数学教学要充分展现解题思维的生长过程［J］. 中小学数学，2016（9）：28-29.

［2］任念兵.“瞻前顾后”：结构化处理教学内容［J］.数学教学，2016（11）：6-9.

2017—04—18

胡素芬（1975—），女，中学高级教师，主要从事数学思想与复习课研究.