机械优化设计论文

冯栋磊+陈鸿波

摘 要：机械优化设计是以数学规划为理论基础，以电子计算机为工具，寻求机械最优设计参数的近代先进设计方法之一。采用优化方法，对提高新产品的设计水平和改进现有设备的设计方案是极有价值的。随着电子计算机在我国越来越广泛的应用，机械优化设计方法的推广应用以及进一步的研究发展也就有了可靠的保证。

关键词：优化设计；数学建模；一维优化；无约束优化

一、前言

优化设计是20世纪60年代初发展起来的一门新学科，它将最优化原理和计算技术应用于设计领域，为工程设计提供一种重要的科学设计方法。采用这种新的设计方法，人们可以从众多的设计方案中寻找出最佳的设计方案，从而大大提高设计的效率和质量。

二、正文

一、优化设计概述

1.1从传统设计到优化设计

一项机械产品的设计，一般需要经过调查分析、方案拟定、技术设计、零件工作图绘制等环节。传统设计方法通常在调查分析的基础上，参照同类产品通过估计、经验类比或试验来确定初始设计方案。然后，根据初始设计方案的设计参数进行强度、刚度、稳定性等性能分析计算，检查各性能是否满足设计指标要求。如果不完全满足性能指标的要求，设计人员将凭借经验或直观判断对参数进行修改。这样反复进行分析计算一性能检验一参数修改，直到性能完全满足设计指标的要求为止。整个传统设计过程就是人工试凑和定性分析比较的过程，主要的工作是性能的重复分析，至于每次参数的修改，仅仅凭借经验或直观判断，并不是根据某种理论精确计算出来的。实践证明，按照传统设计方法作出的设计方案，大部分都有改进提高的余地，而不是最佳设计方案。

传统设计方法只是被动地重复分析产品的性能，而不是主动地设计产品的参数。从这个意义上讲它没有真正体现“设计”的含义。其实“设计”一词本身就包含优化的概念。作为一项设计不仅要求方案可行、合理，而是应该是某些指标达到最优的理想方案。

现代化的设计工作已不再是过去那种凭借经验或直观判断来确定结构方案，也不是像过去“安全寿命可行设计”方法那样，即在满足所提出要求的前提下，先确定结构方案，再根据安全寿命等准则，对该方案进行强度、刚度等的分析、校对，然后进行修改，以确定结构尺寸。而是借助计算机，应用一些精确度较高的力学的数值分析方法进行分析计算，并从大量的可行设计方案中寻找出一种最优的设计方案，从而实现用理论设计代替经验设计，用精确计算代替近似计算，用优化设计代替一般的安全寿司可行性设计。

1.2优化设计发展概况

第二次世界大战期间，由于军事上的需要产生了运筹学，研究出了许多用古典微分法和变分法所不能解决的最优化方法。20世纪50年代发展起来的数学规划理论形成了应用数学的一个分支，为优化设计奠定了理论基础。20世纪60年代计算机和计算技术的发展为优化设计提供了强有力的手段，是工程技术人员能够能够从大量繁琐的计算工作中解放出来，把主要精力转化到优化方案选择的方向上来。虽然近30多年来优化设计方法已在许多工业部门得到应用，但最优化技术成功地运用于机械设计还是在20世纪60年代后期开始的；虽然历史较短，但进展迅速。在机构综合、机械零部件设计、专用机械设计和工艺设计方面都获得应用并取得一定成果。

机构运动参数的优化设计是机械优化设计中发展较早的领域，不仅研究了连杆机构、凸轮机构等再现函数和轨道的优化设计问题，而且还提出一些标准化程序。机构动力学优化设计方面也有很大 ，如惯性力的最优平衡，主懂件力矩的最小波动等的优化设计、液压轴承和滚动轴承的优化设计以及轴、弹簧、制动器等的结构参数优化。除此之外，在机床、锻压设备、压延设备、起重运输设备、汽车等的基本参数、基本工作机构和主体结构方面也进行了优化设计工作。

近年来发展起来的计算机辅助设计（CAD），在引入优化设计方法后，使得在设计过程中既能够不断选择设计参数并评选出最優设计方案，又可以加快设计速度，缩短设计周期。

在科学技术发展要求机械产品更新周期日益缩短的今天，把优化设计方法与计算机辅助设计结合起来，使设计过程完全自动化，已成为设计方法的一个重要发展趋势。

1.3 优化设计的数学模型

1.3.1设计变量

一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示。这些基本参数可以是构件长度、截面尺寸、某些点的坐标值等几何量，也可以是重量、惯性矩、力或力矩等物理量，还可以是应力、变形、固有频率、效率等代表工作性能的导出量。但是，对某个具体的优化设计问题，并不是要求对所有的基本参数都用优化方法进行修改调整。例如，对某个机械结构进行优化设计，一些工艺、结构布置等方面的参数，或者某些工作性能的参数，可以根据已有的经验预先取为定值。这样，对这个设计方案来说，它们就成为设计常数。而除此之外的基本参数，则需要在优化设计过程中不断进行修改、调整，一直处于变化的状态，这些基本参数称作设计常数，又叫做优化参数。设计变量的全体实际上是一组变量，称作设计变量向量。向量中分量的次序完全是任意的，可以根据使用的方法任意选取。一旦规定了这样一中向量的组成，则其中任意一个特定的向量都可以说是一个“设计”。由n个设计变量为坐标所组成的实空间称作设计空间。一个“设计”，可用设计空间中的一点表示，此点可看成是设计变量向量的端点（始点取在坐标原点），称作设计点。

1.3.2约束条件

设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是工程上所不能接受的（例如面积取负值等）。如果一个设计满足所有对它提出的要求，就称为可行（或可接受）设计，反之则称为不可行（或不可接受）设计。

一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。在工程问题中，根据约束的性质可以把它们区分成性能约束和边界约束两大类。针对性能要求而提出的限制条件称作性能约束。例如，选择某些结构必须满足强度、刚度或稳定性等要求，衍架某点变形不超过给定值。不是针对性能要求，只是对设计变量的取值范围加以限制的约束称作边界约束。例如，允许选择的尺寸范围，衍架的高在其上下限范围之间的要求就属于边界约束。endprint

约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约束两种类型。

约束函数有的可以表示成显式形式，即反映设计变量之间明显的函数关系，这类约束称作显式约束。有的只能表示成隐式形式，这类约束称作隐式约束。

1.3.3可行域与非可行域

在设计空间中，满足所有约束条件的区域称为可行域。在设计空间中，至少不满足一个约束条件的区域称为非可行域。

1.3.4目标函数

在所有的可行设计中，有些设计比另一些要“好些”，如果确实是这样，则“较好”的设计比“较差”的设计必定具备某些更好的性质。倘若这种性质可以表示成设计变量的一个可计算函数，则我们就可以考虑优化设计这个函数，以得到“更好”的设计。这个用来使设计得以优化的函数称作目标函数。用它可以评价设计方案的好坏，所以它又被称作评价函数，用以强调它对设计变量的依赖性。目标函数可以是结构重量、体积、功耗、产量、成本或其他性能指标（如变形、应力等）和经济指标等。

建立目标函数是整个优化设计过程中比较重要的问题。当对某一设计性能有特定的要求，而这个要求又很难满足时，则若针对这一性能进行优化将会取得满意的效果。但在某些设计问题中，可能存在两个或两个以上需要优化的指标，这将是多目标函数的问题。例如，设计一台机器，期望得到最低的造价和最少的维修费用。

目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能在n+1维空间中描述出来。为了在n维设计空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。

二、一维优化方法

2.1概述

一维优化方法是优化方法中最简单、最基础的方法。虽然多数优化设计都是多维优化问题，但是许多求解多维优化问题的优化方法，是把多维优化问题转化为一系列的一维优化问题进行求解。因此，一维优化方法是多维优化方法的重要基础。

2.2一维优化方法的应用价值

在多维优化方法中，有一大类多维优化方法的主要任务，是确定能使函数值很快下降的方向即确定搜索方向，以及构成高效的迭代模式。而具体求解时，是把多维优化问题转化为一系列的一维优化问题，反复调用一维优化方法求解优化迭代式，最终获得多维优化问题的最优解。因此，一维优化方法并不仅用于求解一维优化问题，而更多地应用于多维优化的求解中。

2.3一维优化方法的策略

一维优化方法常采用分两步走的策略：

（1）寻找即确定具有使函数值最小的最优步长所在的区间—单峰区间。

（2）在已知的单峰区间上，寻找出最优步长。

三、无约束优化方法

3.1概述

有些实际问题，其数学模型本身就是一个无约束优化问题，或者除了在非常接近最终极小点的情况下，都可以按无约束问题来处理。研究无约束优化问题的另一个原因是，通过熟悉它的解法可以为研究约束优化问题打下良好的基础。第三个原因是，约束优化问题的求解可以通过一系列无约束优化方法来达到。所以无约束优化问题的解法是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。

3.2最速下降法

在最速下降法中，相邻两个迭代点上的函数梯度相互垂直。而搜索方向就是负梯度方向，因此相邻两个搜索方向互相垂直。这就是说在最速下降法中，迭代点向函数极小点靠近的过程，走的是曲折的路线。这一次的搜索方向与前一次的搜索方法互相垂直，形成“之”字形的锯齿现象。

最速下降法是一个求解極值问题的古老算法，早在1847年就已由柯西（Cauchy）提出。此法直观、简单。由于它采用了函数的负梯度方向作为下一步的搜索方向，所以收敛速度较慢，越是接近极值点收敛越慢，这是它的主要缺点。应用最速下降法可以使目标函数在开头几步下降很快，所以它可与其它无约束优化方法配合使用。特别是一些更有效的方法都是在对它改进后，或在它的启发下获得的，因此最速下降法仍是许多有约束和无约束优化方法的基础。

3.3牛顿型方法

牛顿方法和最速下降法一样，也是求解极值问题古老的算法之一。

牛顿法和阻尼牛顿法统称为牛顿型方法。这类方法的主要缺点是每次迭代都要计算函数的二阶导数矩阵，并对该矩阵求逆。这样工作量很大。特别是矩阵求逆，当维数高时工作量更大。另外，从计算机存储方面考虑，牛顿型方法所需的存储量也是很大的。最速下降法的收敛速度比牛顿法慢，而牛顿法又存在上述缺点。针对这些缺点，近年来人们研究了很多改进的算法，如针对最速下降法（梯度法）提出只用梯度信息，但比最速下降法收敛速度快的共轭梯度法；针对牛顿法提出变尺度法等。

3.4变尺度法

变量的尺度变换是放大或缩小各个坐标。通过尺度变化可以把函数的偏心程度降低到最低限度。尺度变换技巧能显著地改进几乎所有极小化方法的收敛性质。

3.5坐标轮换法

坐标轮换法是每次搜索只允许一个变量变化，其余变量保持不变，即沿坐标方向轮流进行搜索的寻优方法。它把多变量的优化问题轮流地转化成单变量（其余变量视为常来）的优化问题，因此又称这种方法为变量轮换法。在搜索过程中可以不需要目标函数的导数，只需要目标函数值信息。这比前面所讨论的利用目标函数导数信息建立搜索方向的方法要简单得多。

这种方法的收敛效果与目标函数等值线的形状有很大关系。如果目标函数为二元二次函数，其等值线为圆或长短轴平行于坐标轴的椭圆时，此法很有效。一般经过两次搜索即可达到最优点。

采用坐标轮流法只能轮流沿着坐标方向搜索，尽管也能使函数值步步下降，但要经过多次曲折迂回的路径才能达到极值点；尤其在极值点附近步长很小，收敛很慢，所以坐标轮流法不是一种很好的搜索方法。

三、小结

最优化技术实在20世纪60年代发展起来的，它建立在近代数学、最优化方法和计算机程序设计的基础上，已成为解决复杂问题的一种有效工具，并成为计算机辅助设计应用中的一个重要方面。优化设计是属于创新设计，它使设计工作从过去的完全经验设计及类比设计中解放出来，在理论上建议设计对象的优化数学模型，按现代的设计方法进行计算，设计出符合人为要求的新产品。创新的设计可能是零件、部件、整机以及各行业的工程。实践证明，现存的产品中，不论是通过经验设计还是类比设计而产生的，产品大部分存在继续改进提高的余地。优化设计提供了一次设计成功的基础。所谓“一次设计”当然指的是最优方案，而又不需要反复地使用、试验及改进，这样的创新设计，其方案是最优的。在设计上力图一次成功，这是设计上的一次飞跃，具有重要意义，对设计工作者的设计方法及习惯引起了重大的变化。不必说航空、航天等工程设计力求一次成功，即使是各行业的民用产品，一次设计成功也将大大缩短设计周期、降低成本以提高竞争力。因此，为了适应科技发展以及经济建设的需要，采用新的设计方法是很必要的。

参考文献：

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