论代数公理化体系与中小学数学教学

谢祥云，杨蕙荥



论代数公理化体系与中小学数学教学

谢祥云，杨蕙荥

（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）

数学公理化方法是研究数学的重要方法，代数公理体系是数学公理体系中的子系统. 代数系统是集合连同满足某个公理体系的运算合称. 中小学数学中处处体现公理化思想，因此在中小学数学教学中讲授代数公理化体系必要且可行. 本文从公理化方法、代数公理体系、中小学代数教育及代数公理化在中小学教学中的作用几个方面来阐述.

代数公理化体系；公理化方法；中学数学

日本数学家米山国藏曾说：“作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地地发生作用，使人终身受益”[1]. 就是说学生可能会忘却了数学知识，但对数学中的核心成分─数学思想方法留有深刻印象. 无论对科学工作者、技术人员，还是数学教育工作者，首要的是数学精神、思想和方法，而数学知识次之. 在数学的思想和方法中公理化思想又是数学的重要思想方法之一. 所谓公理化方法是指从尽可能少的、不加定义的原始概念和一组不加证明的初始命题、基本公理出发，运用严格的逻辑推理，推导出科学系统中的其他命题（定理），从而使某一科学分支成为演绎系统的方法. 应用公理化方法建立演绎体系的关键是引进基本概念、设置一组公理、用它们定义新的概念，推导新的命题. 所有这些基本概念、公理、定义、定理则组成了公理化方法的主要内容. 对于数学科学而言，它是总结和表述以往数学知识的科学方法，能促进和推动新的数学理论的创立，不仅是研究数学的重要方法，而且是研究其他自然科学的重要方法[2].

受公理化方法的影响，20世纪三十年代后期，数学界出现了尼古拉·布尔巴基（Nicolas Bourbaki）学派[3]，该学派的数学成果和数学思想不但引起了数学界的强烈震动，而且引发了教育界的共鸣. 布尔巴基学派的核心是提出了数学理论的结构化思想，即将数学按照不同结构进行分类，而数学结构又由公理化方法抽象得出. 布尔巴基学派认为，在当今的数学中，建立在抽象集合上的基本结构有3种: 序结构、代数结构、拓扑结构，它们统称为“母结构”. 每个母结构还可以像搭积木一样由子结构搭建而成，这些大大小小的结构当然必须依附在某些集合上，这些集合起着对应结构理论中个体元素域的作用. 这些给予了结构的集合构成一系列系统，这些系统我们称之为数学系统，它们有着不同的名称，例如代数系统以及代数系统的子系统─群、环和域. 数学家们的工作中很重要的一部分就是找出各个数学系统之间的结构差异. 数学的发展，就是各种数学结构的建成和发展. 由此可见，结构化方法本质上可以看成近代形式公理化方法的一个发展与应用. 在该思想推动下的中学数学教育的改革运动对中学数学教育产生了很大影响，20世纪七十年代由美国兴起的中学教学新数学运动就是一个很好的案例，该运动对我国的中小学数学教育也产生了深远的影响.

公理化方法属于演绎思维的范畴，它为人类提供了一种严格推理的模式，但不是人类思维惟一的方式，因为它也存在局限性，例如笛卡儿就曾深刻地批判了传统的公理化方法. 他从方法论角度入手，通过建立坐标系，给空间和平面的每个几何对象赋值，从而能够实现用代数的方法解决几何学问题，这就是现今的解析几何思想. 显然，这不是演绎思维和公理化方法的产物[4].

关于欧式几何学公理化方法教学的文献很多[5-7]，本文主要讨论公理化体系中的代数公理化体系，拟对这些问题在中学数学教学中的应用进行比较详细的论述. 文中没有标注的基本概念参见任何一本《数学分析》、《高等代数》和《近世代数》教材及文献[6-10].

1 代数公理化体系

显然，算术和代数学在代数公理化体系中是宠儿，它们给近代数学家们提供了非常广泛的想象空间. 如果我们简单地概述一下几千年来代数的发展历程，可以基本归结为4个阶段，即文字记述阶段、简化文字阶段、符号代数阶段、结构代数阶段. 在整个代数体系中，公理化的历程最主要的有两个体系：数系的公理化体系、抽象代数的公理化体系.

1.1 数系公理化体系

算术可以看作是现代代数学的雏形，它处理的对象是数，是文字记述阶段、简化文字阶段和符号代数阶段之间伴生的一种代数学形态. 在简化文字阶段之前，也就是数的符号表示还没有成型之前，中国古代数学家就完成了《九章算术》这部不朽的著作，该著作解决的都是来自于生产劳动过程中产生的实际数学问题，这些问题怎么样更好地解决，就是以数为对象的“计算技术”了. 现在一般所说的“算术”，是现代小学数学课程的主要内容，主要讲的是自然数、有理数以及它们的四则运算，方法是按照算术发展的时间轴，倒回来再用现代的语言与符号并引入一些最简单的应用题加以巩固. 直到19世纪中叶，格拉斯曼挑选出一个基本公理体系来定义加法与乘法运算，由此算术的其他结论可以从这一体系中运用严格的逻辑推理推导出来. 后来，皮亚诺进一步完善了格拉斯曼的公理体系，建立了自然数公理体系，这为数系的公理体系的确立打下了坚实的基础. 数学家们认为现代数学中的自然数是建立在皮亚诺公理上的，整数是建立在自然数之上的，有理数是建立在整数集之上，实数集建立在有理数集之上，复数集建立在实数集之上. 具体地，为了确定自然数我们首先需要如下公理.

认同皮亚诺公理后，我们有了1，从而就有了全体自然数. 现在我们可以在上引入四则运算. 例如在上定义加法运算：

.

.

；.

在我们知道了数系的发展历程之后，我们自然要问这个历程结束了吗？在教学中怎么和中学生交代呢？

1.2 代数公理化体系

在代数发展的4个阶段里交叉孕育了算术、初等代数、高等代数、数论、抽象代数. 抽象代数是结构代数阶段的产物. 这一阶段的标志性工作是伽罗华（1811—1932）在求解不低于五次方程遇到困难时在阿贝尔工作的基础上，给出了群的概念，即是第一套抽象代数公理，在这公理系统的观点下，给出代数定义.

定义1[6]51对指定对象的一个集合，在其上定义一个或几个运算，以及这些运算所满足的若干公理，集合连同满足某个公理体系的运算合称代数系统或代数.

可以说，代数已经发展成为一门关于形式运算的一般学说了，是研究一般代数系统的一门科学.

定义2[4]31设是一个非空集合，“”是上的二元运算，如果该运算满足：1）结合律；2）对任意的，方程均有解，称为群.

有了群的公理化定义之后，人们通过增加（或减少）新的公理条款，或增加新的一个、多个甚至无限多个的代数运算，从而产生很多新的代数系统，如：群、环、域、格论、模、代数、泛代数等. 另一方面，我们可以通过另一个代数系统在原有代数系统上的作用而产生新的代数分支，例如线性代数、向量空间等；也可以通过与数学其他分支相结合产生代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科. 群论及其相关代数知识对于物理、化学的发展，甚至对于20世纪结构主义哲学的产生和发展都产生了巨大的影响. 人们在多个运算的代数系统中，为了表述这些运算的相容性，给出了很多公理条款，例如交换律、分配律、结合律等等. 1843年，哈密顿发现了一种乘法交换律不成立的代数—四元数代数；1844年，Grassmann推演出更有一般性的几类代数；1857年，Cayley设计出另一种不可交换的代数—矩阵代数. 实际上，人们通过减弱或删去普通代数的某些假定，或用别的假定取代某些假定且这假定与其余假定是兼容的，就能发展构造出许多种代数体系. 这方面的工作我们不得不记住一位杰出女数学家，被誉为代数女皇的德国数学家诺特，她把表示理论、理想理论及模理论统一在所谓“超复系”的基础上. 人们跟随诺特研究过200多种这样的代数结构，包括著名的诺让德代数和李代数，它们均是非结合代数的例子. 20世纪，抽象化的思想在现代数学中得到了充分的反映.

2 中小学代数公理化教育

2.1 中小学数学中的数系构造

我国现行的人教版中小学教材中，数学知识点通过以下几大体系来构建：1）以数系为基础构建的代数体系；2）以一维、二维和三维现实时空为基础的几何体系；3）以函数为基础构建的初等微积分体系；4）以数据为基础构建的随机数学与统计体系. 在这四大基础中，数系的形成无疑是一条重要的贯穿12年中小学数学教育的主线，从100以内的自然数到虚数单位、复数，覆盖了小学一年级到高三的所有课本. 由于数系的公理化体系涉及现代数学的深刻理论，我们没有办法为中学生讲授该体系，但是作为教师了解和熟悉数系的公理化重建会对他们的教学认知产生深远的影响. 例如在高中数学讲完复数以后，我们可以鼓励学生大胆去猜想数系的发展到了复数就终结了吗？要想将这个问题表述清楚就必需去探究整数、有理数、实数到复数中的运算律有没有什么共性？我们还可以猜想有比复数系更大的数系且其与前面的数系有共同运算律吗？这些问题都是在数系公理化体系的背景下提出来的，而且给出了肯定的回答.

2.2 中小学数学中的代数公理化

中小学代数的内容主要由算术和简单代数方程求根以及线性代数初步构成. 这种结构主义思想在中小学没有办法贯彻，但是我们可以从中看出代数系统的影子. 例如在人教版小学四年级下册教材中，在讲整数的四则运算时引入了代数运算定律，即整数代数系统里的代数运算应满足如下运算律：加法满足交换律（）和结合律（）；乘法满足交换律（）和结合律（），且乘法对加法满足分配律（）等. 并将这些运算律进一步推广到了小数等. 受限于中小学生的认知水平和心理发展水平，中小学数学教材里的公理体系是不严格的，且代数系统在中小学数学中也是不严格的公理体系. 例如在减法的教学中，只粗略地讲述减法可由加法推导出来，且只给出了减法不满足交换律和结合律的结论，而没有给出推理出这个结论的过程或是给出几个特例（例如，）来说明这个结论，更没有进一步说明哪些运算满足哪些运算律、不满足哪些运算律.

代数运算是中小学数学的主要内容，对代数运算满足的运算律理解充分与否将直接影响学生解题的能力和速度，因此要求教师在讲授相关运算律时（即便这不是课标所明确要求的），要将书本粗略给出的结论向学生讲清楚，而不是含糊其词或略过不讲.

2.3 代数公理化对中学代数教育的影响

公理化方法是衡量数学理论美不美的标准[8]. 学习公理化，需要先了解建立这个公理系统的思维方法，还要学会公理的推理. 荷兰著名数学家、数学教育家汉斯·弗赖登塔尔（1906—1990）认为：数学知识既不是教出来的，也不是学出来的，而是研究出来的. 也就是学生在数学学习过程中，需要主动去建构数学知识体系. 中小学数学各部分内容可以看作是某个公理系统的子系统，例如中小学代数学习的有理数、实数、复数、平面向量为线性代数的向量空间提供例子，坐标旋转公式成为线性代数中的坐标变换公式的例子[11]. 因此学生一进入中小学学习数学内容，就已经在接触某个公理系统，从而也就接触了公理化思想. 学者毛耀宗认为：数学教育中对公理的表达要适度；局部环节上，在给出公理系统之前应该让学生有一个充分的心理酝酿过程；各阶段上，要与学生心理发展水平相适应，要充分考虑学生的认知发展水平和已有的知识经验[9]. 代数公理化也影响教师对教学方式和方法的选择. 即教师需要按照课标的要求，根据学生的学习情况，将书本数学内容转化为具有探索性的数学问题，并根据这些数学问题创设教学情境，在数学学习活动中，突出学生的主体地位，引导学生主动地建构数学知识体系. 如学生建构数学知识体系过程中遇到困难，教师可以给予指导或启发；教师要对学生建构的数学体系进行评价，也可以通过师生间的交流和讨论，引导学生根据评价标准对自己建构结果的正确性进行分析、论证，得出评价结论[7].

3 代数公理化在中小学数学教学的作用

在中小学数学学习阶段，学生在计算问题或证明定理的过程中可能会不懂用所学的数学知识来计算或证明，如果我们老师给学生普及简单的公理化思想方法，就可以将所学知识系统化、结构化，方便灵活运用. 所以教师在中小学数学教学中应渗透公理化思想方法，且明确指出在哪体现公理化方法. 在教学中融入代数公理化的作用如下：

1）有助于培养学生的探索精神和合作精神. 特别是在探索性学习过程中，学生组成学习小组探讨合作交流问题，比自己一人解决探讨性数学问题更容易，且在这探讨过程中学生的合作精神渐渐培养起来，学生之间相处更融洽. 同样以数系为例，中学教材中谈到复数，我们可以引导学生小组讨论或查资料探讨以下问题：为什么没有

和

这样的数呢？如果有，应该有什么性质？和复数有什么不同？为什么不把它们纳入数系范畴？

2）有助于教师主导作用的发挥以及启发式教学的实施. 数学教材中处处体现公理化思想，但公理化思想是触摸不到的，需要教师在数学教学中渗透公理化思想并点明让学生知道和了解. 教师从书本中的现实问题抽象出具有探索性的数学问题，创设情境，让学生主动去探索问题，学生是课堂的主体，教师作为指引者，在学生碰到困难时给予指导或启发. 例如讲完减法后，我们可以引导学生去探究减法有没有结合律和交换律呢？如果有会是什么结果呢？或是探究在一个数的集合中，和一致吗？

3）有助于将零散的中小学数学知识系统化，便于学生掌握和灵活运用，也为以后学习相关的数学知识做准备.

4）有助于学生系统地整理所学的数学知识，形成自身的知识体系，培养学生的逻辑思维能力.

5）有助于激发学生学习数学的兴趣，从而提高数学课堂教学效果. 数学公理化思想是数学文化史的宝贵的组成部分，在中小学数学教学中渗透公理化思想，在教学中加入有趣的数学故事，避开一贯的枯燥的课堂氛围，让学生渐渐觉得数学并不难学.

4 总结

数学公理化方法是数学文化史中的瑰宝，是前辈给我们留下的宝贵的财富. 在中小学数学教学中教师除了应当给学生教授几何公理化方法之外，也需要归纳和整理教材中的代数公理化体系并教授于学生，但不要求人人必须掌握它. 在教学活动中教师应根据课标要求和学生认知发展能力，选择适合的教学方式和方法，渗透公理化方法，且注意公理化方法与其他数学思想方法相结合运用. 学生在中小学学习并了解公理化思想，为大学和未来学习以及接触更严谨的数学体系做铺垫.

公理化学习是在已经掌握了的知识上进行思考，所以知识不能由教师或其他人简单地传授给学生，而是学生个体主动地根据自己已掌握的知识进行思考，从而达到对知识的发现和理解. 这就要求教师在设计教学过程时，在创设情境的设计中启发学生思考问题，让学生带着问题探究知识. 若学生在思考和探究的过程中遇到困难，教师可适当对其进行引导.

[1] 米山国藏. 数学的精神、思想和方法[M]. 成都：四川教育出版社，1986.

[2] 陈竹如. 代数的由来[J]. 九江师专学报，1989, 8(1): 70-72.

[3] 胡作玄. 布尔巴基学派的兴衰[M]. 上海：知识出版社，1984.

[4] 张禾瑞. 近世代数基础[M]. 北京：人民教育出版社，1978.

[5] 杨永根. 有关几何公理化方法的形成及教学方法探讨[J]. 东华理工学院学报，2007, 26(4): 422-423.

[6] 唐煌. 关于数学公理化方法的教学问题[J]. 安庆师范学院学报，2000, 6(2): 51-52.

[7] 张平. 关于几何公理化方法的产生、发展和中学几何公理处理的硏究[J]. 齐齐哈尔师范学院学报，1987, s1: 54-58.

[8] 代业明. 从方法论和认识论看线性代数与中学数学的联系[J]. 煤炭高等教育，2011, 29(5): 124-125.

[9] 谭琼华. 公理化建构主义与数学教学[J]. 郴州师范高等专科学校学报，2001, 22(2): 35-39.

[10] 曾志斌. 从公理化视角看待自然数及其算术运算[J]. 中学教学参考，2016(14): 5-7.

[11] 毛耀宗，许尔伟. 公理化方法的发展及其对数学教育的启示[J]. 当代教育论坛，2010(7): 35-36.

[责任编辑：熊玉涛]

On Algebraic Axiomatic Systems and Mathematics Teaching in Primary and Secondary Schools

XIEXiang-yun, YANGHui-ying

(School of Mathematics and Computation Science, Wuyi University, Jiangmen 529020, China)

Axiomatic methods play an important role in mathematics. The Algebraic axiomatic system is a subsystem of axiomatic systems of mathematics. Axiomatic methods permeate in primary and secondary schools mathematics teaching, so it is necessary and feasible to teach algebraic axiomatic systems in primary and secondary schools. This paper is illustrated from several aspects of Axiomatic methods, Algebraic axiomatic systems, the algebra education in primary and secondary schools and the role of algebraic axioms in primary and secondary schools mathematics teaching.

algebraic axiomatic systems; axiomatic methods; middle school mathematics

1006-7302（2017）03-0013-07

O152.7

A

2017-04-25

国家自然科学基金资助项目（1361027，11271040）；广东省自然科学基金资助项目（2014A030313625）；广东省教育厅省级重大项目（自然科学类）（2014KZDXM055）；五邑大学2016年省级（校级）研究生教育创新教育类项目（2016SFKS_40,YJS-SFKC-16-01）；广东省教学改革项目（GDJX2016016）.

谢祥云（1964—），男，安徽舒城人，教授，博士，硕士生导师，研究方向为序半群的代数理论、模糊代数、粗糙集理论.