基于多元表征理论下的数学教学实践研究

☉江苏省通州高级中学 徐婧婧

基于多元表征理论下的数学教学实践研究

☉江苏省通州高级中学 徐婧婧

“多元表征理论”强调数学问题心理表征的多元性及其各方面的相互渗透与必要互补.其中尤为值得关注的是“多元表征理论”对数学问题心理表征的不同方面或成分做出了尤为突出的强调，这些都是数学问题需要正确理解时各具不同作用的成分，而且，理论对各成分之间的联结和相互转化也进行了多元表征以促成学生思路的扩散以及认知结构的不断完善，这对于学生数学表达能力及数学素养来说是极有意义的.

一、加强表征转换训练

能够说明问题如何在脑中呈现及正确表达的“表征”是问题解决的中心环节之一，这是著名心理学家西蒙早就在表征理论中阐述过的观点.所以说，重视数学概念、公式等表征取向的把握及各问题表征之间的转换训练是教学中的重要内容，因此，教师应注重问题情境的创设并使问题表征与数学概念、公式等能够匹配，从而促成学生对概念、公式等的深刻认识与理解.

基本不等式与方程、函数不同的是对两个变量、两个代数式及一个恒成立的不等关系式所进行的研究.学生接触这样新型的数学模式既感到新奇又感到陌生，很多学生的思维或许还沉湎于原有的思维模式中不能自拔，因此，教师此时有目的的关于问题表征之间的转换训练就尤为有必要了，不同的表征形式一旦展示出来，学生对于数学问题表征的特征及主要形式便会建立初步的了解，问题表征的基本要领也会在此过程中得到逐步掌握，学生对于数学公式的多元表征及基本不等式的深层次理解也会随之逐步建立.

（1）语言表征：两个正数的等差中项不小于（大于等于）它们的等比中项.转换成两个正数的算术平均数不小于（大于等于）它们的几何平均数也是一样的（两个正数相等时出现唯一的两种平均数相等的现象），学生在学会使用简洁而又准确的语言来进行公式的表达时，对于基本不等式的理解、数学语言表达交流能力及数学素养都在这个过程中得到了有意义的锻炼.

（3）操作表征：引导学生进行两个正数的取值及其等差中项、等比中项的计算并将结果一一记录在Excel表格中，继而引导他们对计算结果进行对比并最终借助两个代数式之间所存在的关系而猜想出基本不等式.这样的操作表征对于学生的归纳、概括及猜想等活动能够提供较为具体且更易理解的直接经验.

（4）情境表征：商场换季促销设计了两种降价的方案：第一种，商品a折的基础之上再b折销售；第二种，商品折的基础上再折进行促销.哪一种方案更省钱呢？

“商品打折”这一现实生活中的生动题材使得“基本不等式”的教学显得更富有生命力，学生从自身生活、知识等经验对数学模型与数学应用进行了亲身体验性的抽象提炼，数学素养不知不觉得到了很好的锻炼.

图1

（5）图像表征：如图1，半圆的直径为AB，圆周上有一点C，CH⊥AB，垂足为H.若AH=a，HB=b，则为算术平均值，为几何平均值.

你能指出a、b的算术平均值与几何平均值分别是图中哪条线段吗？它们之间的大小关系怎样？

引导学生从熟悉的几何图形中进行基本不等式的抽象，使得数形结合思想在抽象中得到体现和应用，学生同时也领悟到了数学独有的韵味，以及形与数之间的转化.

学生在数学问题表征的转换训练中逐步建立起各种表征方式之间的联系，学生在各种数学问题表征系统内部及系统之间的转译能力也在这样的转换训练中不断提高，多元表征能力、直觉的经验积累、对数学问题及数学表征的深入体验、对数学问题本质的领悟以及数学表达能力都在表征转换训练中得到了最好的锻炼与提高.

二、创设多维表征交流平台

数学概念、命题、算法及策略经验等基本模式所产生的心理图式我们称之为数学问题的表征模式.表征方式也正因为数学概念、命题及算法等基本模式对数学问题转译方式的多样而呈现出多样性，解题策略与方法包含在每一种表征中的联结词中.问题多维表征能够促成学生解题思维的有效拓展与联想，因此，启发性提示语是教师在教学中应该经常运用的.比如，如果请你依据自身的联想和经验对问题进行重新表征，你会怎么做呢？再比如，思维无法继续的时候你能否变换问题的表征方式呢？这些带着引导、启发性的语言往往能使学生产生丰富的联想并激活自身原有知识经验使得多维表征得以进行.

问题2：在平面直角坐标系xOy中，有一直线mx-y-2m-1=0（m∈R），试求以点（1，0）为圆心并与该直线相切的所有圆中最大半径的圆的标准方程.

表征分析1：根据题意可得圆的半径最大即要求相切时半径的最大值且r≠0，因此m≠-1.求出r的最大值本题即可解出.教师引导学生如此思考之后还应适时启发学生运用已有知识与经验展开联想，使得问题的表征变得更加灵活，在学生建立一定的问题表征以后再促使学生进行多维表征的交流，表征变得更加容易变通，转化和化归能力也就得到锻炼和凸显了.

表征1：（二次方程模式）两边平方并整理可得（r2-1）m2-2m+r2-1=0，关于m的此一元二次方程有实根即可解决本题，再运用判别式法即可求出r的最大值为因此，题中所求圆的标准方程为（x-1）2+y2=2.

表征分析2：从数学问题图式入手进行图形表征可以发现直线mx-y-2-1=0经过定点P（2，-1），依据平面几何知识将问题转化，r的最大值为点P与圆心的距离即， 因此，本题所求圆的标准方程为（x-1）2+y2=2.处于不同层次的学生经过不同表征方式的交流对问题表征的经验进行了不同程度的积累.

三、建构、分析问题表征系统

建构表征系统能够理顺题中各信息之间的逻辑关系、因果关联，并使学生能够顺利形成清晰的思维走向.

问题3：在锐角三角形ABC中，sinA=2sinBsinC，试求tanAtanBtanC的最小值.

建构表征系统可得：（1） 锐角三角形；（2）sinA=2sinBsinC；（3）求tanAtanBtanC的最小值.因此，对学生进行核心信息“sinA=2sinBsinC”的引导分析，使得问题的本质得以暴露并最终形成顺利的解题思维.

思维走向1：（基于生成关系考虑）核心信息（2）经过三角形内角和定理与诱导公式可以转化为tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=-tan（π-A）=-tan（B+C）=-利用代入法将其转化.令tanBtanC=t（由（1）得t＞1），再利用换元法进行转化，tanAtanBtanC=-≥8，所以tanAtanBtanC的最小值为8.

思维走向2：（基于地位关系考虑）将核心信息（2）进行化解可得tanB+tanC=2tanBtanC，由三角形中tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC联想，运用基本不等式整体进行思考，根据信息（1） 可知tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC=tanA+2tanBtanC≥，化简得tanAtanBtanC≥8.

建构表征系统能将核心信息以及信息之间的关系一一理顺，并从不同的出发点进行问题的思考.

四、选择合理的表征方法

对数学问题进行合理的表征是解决问题最为重要的第一步.问题的类型、结构特征、模式识别等都是问题表征之前需要首先进行辨别的，数学问题解决的难易、快慢都因为问题表征是否合理而受影响.

解决此题的常规思想是换元，即求（a-c）2+（a2-2lna-3c+4）2的最小值.学生的思维至此往往陷入困境.但可对进行重新表征，利用函数模式进行联想，点（a，b）在曲线y=x2-2lnx上，点（c，d）在直线y=3x-4上，利用两点之间距离公式对（a-c）2+（b-d）2进行模式表征，理解成上述两点之间距离的平方并构造出几何模型，本题所求即可转化为曲线y=x2-2lnx至直线y=3x-4上点的距离平方的最小值.作平行于直线y=3x-4且与曲线y=x2-2lnx（x＞0）相切的切线，本题所求最小值即为该切线至直线y=3x-4的距离的平方.

合理的模式表征使得学生对问题结构特征的思考变得更加简洁，思维的长度也因此缩短，解题更快.

总之，教师在教学中应创设问题表征的时机并积极引导学生进行表征系统的意义建构，促成学生表征方式与经验的有效积累并使问题表征能力稳步发展与提高.F