螺旋式上升背景下教学内容呈现方式的研究——基于苏教版高中数学教材必修1与必修4函数图像变换编写的比较

☉江苏省昆山中学 刘校国

螺旋式上升背景下教学内容呈现方式的研究
——基于苏教版高中数学教材必修1与必修4函数图像变换编写的比较

☉江苏省昆山中学 刘校国

课程标准下，高中数学教材编写的指导思想为“改进教学和学习的方式，培养创新意识”，因此作为一线的教育工作者，要认识到教材在教育教学中发挥的引导作用.为了真正落实素质教育，满足当前我国基础教育的需求，教材编写应该始终贯彻“螺旋式上升”的原则，而“螺旋式上升”要体现在内容的深度、广度和呈现方式上.笔者将苏教版高中数学教材必修1和必修4中有关“函数图像”的内容作为研究对象，通过对比分析得出：从教学内容的深度、广度上来看，教材编写贯彻了“螺旋式上升”的原则；从教学内容的呈现方式上来看，教材编写未能做到“螺旋式上升”，具体情况汇报如下：

一、教学内容在深度、广度上，渗透了“螺旋式上升”原则

螺旋式上升可以从螺旋和上升两个方面理解.基于教学内容来讲，“螺旋”体现在相同的学习主题，而学习内容的深度、广度上却不相同；“上升”体现学习内容的深度加深，广度更阔，而不是机械的再现重复，简单来讲，就是层次上有所提升.函数是高中阶段数学学习的重难点，而图像变换是函数学习的重要内容之一.通过分析研读教材，高中函数的“图像变换”主要涉及了平移、纵向伸缩、横向伸缩及翻折等方面的内容，它主要的研究对象是指数函数图像、对数函数图像及三角函数图像，主要研究图像的变换.

通过研读苏教版高中数学教材发现，指数函数图像的变换和对数函数图像的变换是在高中数学教材必修1中出现的，而三角函数图像的变换却是在高中数学教材必修4中出现的.笔者为了研究“图像变换”的相关内容，重点将与指数函数、对数函数及三角函数相关的章节内容进行了对比和研究，并将其教学内容呈现的顺序，进行了归纳，形成了图1.

图1

通过图1可以看出，“指数函数图像的变换”——“对数函数图像的变换”——“三角函数图像的变换”，它们研究的内容都是“函数图像的变换”，但是它们研究的载体却发生了变化.从教学内容来看，学习内容的深度更深了，学习内容的广度更阔了.

二、教学内容在呈现方式上，未能做到“螺旋式上升”

在基础教育改革深入开展的今天，高中阶段教育工作者的教学任务已经不再是简单的传授知识，而是要注重引导学生掌握各种学习方法和数学思想，促使学生的综合素养得到提升.教学是教师“教”与学生“学”的重要载体，因此在日常的教学中，教育工作者要认识到“教材”的重要性，对其进行研读，而不能够机械地按照教材施教，不利于引导学生形成完整的、合理的知识体系.例如，笔者研读了苏教版高中数学“函数图像变换”的相关内容，发现“合情推理和演绎推理”确实已经融入到了教材教学内容中.编写者在编写教材时，即将“合情推理和演绎推理”作为独立的教学内容呈现，还将“合情推理和演绎推理”作为引领数学的方式呈现.对比指数函数、对数函数及三角函数的相关内容，它们呈现的方式可以归纳为“作图、观察——思考分析——具体结论——函数一般式”，笔者在此将指数函数、对数函数及三角函数作为研究对象，进行分析研究.

1.指数函数

以指数函数为对象研究：首先，通过“描点法”（又称“七点法”）绘制出函数y=2x、y=2x-2、y=2x+2的图像；然后，当x=a+2时，y=2x-2=2a；当x=a时，y=2x=2a，通过对比思考，“x=a+2时，指数函数y=2x-2的值”与“x=a时，指数函数y=2x的值”是相等的；再次，得出结论：函数y=2x+2的图像能够通过平移函数y=2x的图像得到；最后，以“思考”的形式呈现：函数y=ax+h的图像与函数y=ax（a＞0，a≠1，h≠0）的图像之间有怎样的关系？.

取“x”为-4、-3、-2、-1、0、1、2这七个数，将其分别代入到函数y=2x、y=2x-2、y=2x+2中，得出y值，具体为表1.

表1 函数y=2x、y=2x-2及y=2x+2的取点概况

根据表1，在坐标系中，绘制出函数y=2x、y=2x-2及y=2x+2的图像，具体如图1.

图1 指数函数y=2x-2、y=2x及y=2x+2的图像

2.对数函数

以“对数函数”为研究对象：首先，通过“描点法”绘制对数函数y=log3x、y=log3（x+2）的图像；然后，当x=a-2时，函数y=log3（x+2）=log3a，当x=a时，函数y=log3x=log3a，通过对比思考，“x=a-2时，函数y=log3（x+2）的值”与“x=a时，函数y=log3x的值”是相等的；再次，得出结论：通过平移对数函数y=log3x的图像可以得到对数函数y=log3（x+2）的图像；最后，以“思考”的形式呈现：函数y=loga（x+h）与函数y=logax（a＞0，a≠1，h≠0）的图像有怎样的关系？

取“x”为-2、-0.5、0、1、1.5、2、3这“七个数”，分别将“x”代入到对数函数y=log3x和y=log3（x+2）中，求得y值，具体见表2.

表2 函数y=log3x、y=log3（x+2）的取点概况

根据表2，在坐标系中，制作出对数函数y=log3x、y=log3（x+2）的图像，具体如图2.

图2 对数函数y=log3x、y=log3（x+2）的图像

3.三角函数

三角函数的相位变换、周期变化和振幅变换的呈现方式完全相同，因此，教材编写者选择了“相位变换”的方式呈现教材.通过观察、对比函数y=sinx与y=sin（x+1）的图像（图3），得出“x=a时，函数y=sinx的值”与“x=a-1时，函数y=sin（x+1）的值”相等，进一步分析研究可以发现：通过平移函数y=sinx的图像可以得到函数y=sin（x+1）的函数图像.最终，直接言明结论：当φ＞0时，将三角函数y=sinx的图像向左平移|φ|个单位可以得到函数y=sin（x+φ）（φ≠0）的图像；当φ＜0时，将三角函数y=sinx的图像向右平移|φ|个范围可以得到函数y=sin（x+φ）（φ≠0）的图像.

图3 函数y=sinx与y=sin（x+1）的图像

通过上述内容可以发现，苏教版高中数学教材内容的呈现强调了“特殊——一般”，同时利用了“归纳推理”的方式发现数学，并通过合理的逻辑推理研究问题，获得知识.从教学内容上来讲，它呈现的方式过渡依赖于“合情推理”，而未能给贯彻“螺旋上升”的原则，具体表现为：教材编写未能给立足学生的认知结构和思维规律，并且教材内容呈现机械单一，不利于培养学生的探究意识、探究能力，进而使学生的探究素养得不到培养和提升.

三、建议

1.指数函数

指数函数出现于苏教版高中数学教材的必修1中，它服务于刚刚步入高中阶段不久的新生.高一新生仍旧处于初、高中的衔接阶段，他们并未能够完全适应高中阶段的学习生活，因此指数函数相关内容可以遵循“循序渐进”的原则，仿照“二次函数”图像变换呈现的方式编写“指数函数”图像变换的相关内容.这样以来，降低了学生的陌生感，使学生能够高效地、快速地完成学习目标.

2.对数函数

“对数函数”与“指数函数”同样出现于苏教版高中数学教材必修1中，且它们是相邻而居，指数函数在前，对数函数紧随.因此，可以遵循“类比推理”的原则，将“指数函数”图像变换的相关内容呈现.这样有助于培养学生透过事物看本质，使学生的数形结合思想得到培养.

3.三角函数

“三角函数”图像变化的相关内容出现于苏教版高中数学教材必修4中，学生已经掌握了“对数函数”图像变换的相关内容，因此可以采用“演绎推理”方式呈现，引导学生回归到函数本质的认知上，通过演绎推理得出结论.

概括来说，从思维层次上来讲，“理性思考——得出具体结论——作图验证——一般式”的方式要高于“作图、观察——思考分析——具体结论——函数一般式”的方式，这恰恰体现了“螺旋式上升”.

1.孔凡哲.基础教育新课程中“螺旋式上升”的课程设计和教材编排问题探究［J］.教育研究，2007（5）.

2.曾荣.演绎推理让数学课堂充满理性与智慧——“函数y=Asin（ωx+φ）的图象”的教学实录与反思［J］.中学数学月刊，2015（4）.F