多想少算视角下2017年全国卷数学试题分析*

☉内江师范学院数学与信息科学学院 黄成世

☉内江师范学院数学与信息科学学院 赵思林

多想少算视角下2017年全国卷数学试题分析*

☉内江师范学院数学与信息科学学院 黄成世

☉内江师范学院数学与信息科学学院 赵思林

数学作为思维的科学，其核心价值在于培养学生的数学思维能力.数学思维的本质就是想问题和想问题如何解决.因此，高考数学命题将“多考点想，少考点算”作为一条基本的命题理念.［1］“多想少算”就自然成为高考数学命题的基本原则.研究发现，“多想少算”的命题理念在2017年高考数学全国卷（共六套）中得到了充分体现，值得思考与玩味.这六套试题中的一些题目，若能灵活运用“多想少算”的一些策略（如利用重要结论，利用对称性，利用补体法，观察法，将问题特殊化，利用极限，发掘隐含条件，回避分类讨论，利用设而不求等），就能充分感受“多想少算”的威力与魅力.

一、利用重要结论

利用重要结论解题，大大简化运算，尤其是对于选择题和填空题可以达到秒杀的效果.需要说明的是，数学中的重要结论不应去死记硬背，而是应在理解或直觉的基础上去记忆.

例1（2017年全国卷Ⅰ理）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）.

A.16 B.14 C.12 D.10

二、利用对称性

对称美是一种重要的数学美.高考命题专家特别青睐用“对称美”理念设计试题.考生若有数学审美意识，充分发掘题目中的数学美的信息（包括图形、数据、结构等），往往能快速找到解题思路，并大幅度减少运算量，从而达到“想美少算”的目的.

例2（2017年全国卷Ⅲ理）已知函数f（x）=x2-2x+a（ex-1+e-x+1）有唯一零点，则a=（ ）.

解析：由于函数y=x2-2x的图像关于x=1对称，且函数ex-1+e-x+1的图像也关于x=1对称，所以函数f（x）关于x=1对称.又因为函数f（x）有唯一零点，所以零点只能为x=1，因此（f1）=-1+2a=0，解得.故选C.

例3 （2017年全国卷Ⅰ文）已知函数f（x）=lnx+ln（2-x），则（ ）.

A.f（x）在（0，2）上单调递增

B.f（x）在（0，2）上单调递减

C.y=f（x）的图像关于直线x=1对称

D.y=f（x）的图像关于点（1，0）对称

解析：由于f（2-x）=ln（2-x）+lnx=f（x），则函数f（x）的图像关于直线x=1对称，故选C.

评注：如果函数f（x），满足∀x∈D，恒有f（a+x）=f（bx），那么函数的图像有对称轴；如果函数f（x），满足∀x∈D，恒有f（a-x）=-f（b+x），那么函数f（x）的图像有对称中心这两个结论是处理对称问题的基本工具，很有用.

三、利用补体法

补体法的本质是从宏观的角度看待和处理立体几何问题.补体法就是将原已知几何体进行修补与改造（即“造形”），使新几何体成为比较熟悉的特殊的几何体，如正方体、长方体、平行六面体、锥体、台体、球体等，再利用新几何体的性质，探求问题简便解法的思想方法.“造形”是构造图形的简称.“造形”含有创造性的成分，这需要考生具有创新意识.

例4（2017年全国卷Ⅱ理）已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（ ）.

解析：此题把直三棱柱ABC-A1B1C1补成一个直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，把直线BC1平移到AD1，则异面直线AB1与BC1所成角为∠B1AD1.

因为∠ABC=120°，所以∠B1A1D1=180°-120°=60°，从而

在△AB1D1中，由余弦定理，得cos∠B1AD1=，故选D.

例5 （2017年全国卷Ⅲ理）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；

②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；

③直线AB与a所成角的最小值为45°；

④直线AB与a所成角的最大值为60°.

其中正确的是______.（填写所有正确结论的编号）

解析：由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，由AC⊥a，AC⊥b，又AC⊥圆锥底面，所以在底面内可以过点B，作BD∥a，交底面圆C于点D，如图1所示，连接DE，则DE⊥BD，所以DE∥b.

老头子慢慢的从一堆破旧衣服里爬出来，露出一个白发苍苍满是热汗的头颅，发红的小脸上写着疲倦的微笑，离开了傀儡后，就把傀儡重新扶起，自言自语的说着：“王九，好小子，你真干。你瞧，我说大爷会来，大爷不全来了吗？你玩得好，把赵四这小子扔倒了，大爷会大把子铜子儿撒来，回头咱们就有窝窝头啃了。瞧，你那脸，大姑娘样儿。你累了吗？怕热吗？（他一面说一面用衣角揩抹他自己的额角。）来，再来一趟，好劲头，咱们赶明儿还上南京国术会打擂台，给北方挣个大面子！”

图1

由图可知③正确.

很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，则直线AB与a所成角的最大值为90°，④错误.

故选②，③.

四、观察法

观察是认识事物的基本方法，也是寻找数学问题解决之思路的基本策略.

例6 （2017年全国卷Ⅱ文）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则点M到直线NF的距离为（ ）.

思路2：由于直线l过焦点，容易联想到圆锥曲线统一的极坐标方程

五、将问题特殊化

运用特殊化策略是解答选择题和填空题最常用的简便方法.从特殊到一般是人们思考问题的根本方法，也是探求解题思路的基本策略.［1］

解析：对于一些选择题和填空题，可以用特殊值法解之.可令m=1，焦点在x轴上，当M在y轴上时，刚好满足∠AMB=120°且是最大值，如果再增大m很明显不成立，排除B、D.再令m=4，则焦点在y轴上，通过计算最大值∠AMB≤120°，故选A.

六、利用极限

利用极限的思想方法，可以简洁明快地判断超越函数在极限状况下的图像趋势.

图2

解析：当x→+∞，则y→+∞，所以排除B、C；当x→0，y→+∞，排除A，故选D.

七、发掘隐含条件

解析：本题要抓住以b为半径作圆A，根据双曲线的图像性质，则必定有A与M（N）的连线垂直x轴.又因为∠MAN=60°，则，又由a2+b2=c2，则

评注：本题解法充分运用挖掘隐含条件的方法，表面上可能只是把b当作圆A的半径，但更深的挖掘却发现能与双曲线的虚半轴长b联系起来，使本题的计算量大大减少.

八、回避分类讨论

评注：这里巧妙地避免了对x取值范围的全面讨论，使解答显得简洁明快.

九、利用设而不求

“设而不求”是一种很有用的数学解题策略，采用设而不求的方法，往往可以避免盲目推理和计算而造成的大量烦琐工作，从而达到简捷、快速的解题效果.

例11 （2017年全国卷Ⅰ理）设x，y，z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）.

A.2x＜3y＜5z B.5z＜2x＜3y

C.3y＜5z＜2x D.3y＜2x＜5z

解析：设2x=3y=5z=t，则t＞1.

由2x=t，得2x=2log2t=log2t2，即

即有3y＜2x＜5z.故选D.

“多想少算”作为一种基本的数学解题策略，远不止上述九种，还有很多.在2017年高考数学全国卷（共六套）中，涉及“多想少算”的题目也并不止这些题目，其他一些题目也明含或暗含了“多想少算”的理念，值得研究.

1.赵思林，李兴贵.多想少算——解高考数学题的基本策略［J］.中学数学，2010（12）.被人大复印《高中数学教与学》2011年4期全文转载.F

教育部“本科教学工程”四川省地方属高校本科专业综合改革试点项目——内江师范学院数学与应用数学“专业综合改革试点”项目（ZG0464）；四川省“西部卓越中学数学教师协同培养计划”项目（ZY16001）；内江师范学院2016年度校级学科建设特色培育项目（T160009，T160010，T160011）．赵思林系本文通迅作者.