变中求进，进中求通——一道检测题的变式设计

☉广东省东莞高级中学 刘心华

变中求进，进中求通
——一道检测题的变式设计

☉广东省东莞高级中学 刘心华

数学教学，离不开解题.解题教学是数学教学的一个重要组成部分，提高学生的解题能力是数学教学的一项重要任务.教师通过对学生解题情况的调查与分析，可以完整地了解学生在解题过程中思维活动的真实状况，发现学生在解题过程中的思维障碍、知识方法缺陷与能力素养的不足，从而有针对性地加强对学生的指导与训练，通过变式问题及问题解决，帮助学生发现命题规律，掌握解题策略，优化思维.同时也有助于教师从学生的角度来审视教学，改进教师课堂教学的方式与方法，提升教师的教育教学水平.

美国著名数学教育家G·波利亚说过：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域.”下面就高三月考一道检测题及学生的答题情况，谈谈变式问题的设计，帮助学生发现命题规律，掌握解题策略，变中求进，进中求通，优化思维.

一、问题的提出

例题（高三年级月考检测题）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，当x＞0且x≠1时，2f（x）+xf′（x）x-1＞0，若曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率为-2，则f（1）=（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.3

学生解答情况：此题是选择题的第10题，有一定的难度，考后统计的结果不出意外，笔者所教的两个班100名学生中有32人选择了正确答案，在试卷讲评课上，与学生交流发现，有一部分学生对条件不会进行等价转化，完全找不到解题方向，没有经过思考直接猜了答案；有些学生想到要去构造函数求解，但本题与平时练习作业中构造函数的问题又不太一样，一时想不到如何构造函数，有思考但做不下去而猜答案；还有同学想到只考虑用分子去构造函数，但接下来找不到函数导数、单调性与极值间的关系，只好猜一个答案；两个班只有23个同学做出了正确解答.

本题所考查内容是函数、导数、不等式问题，解答的难点在于如何对条件进行正确转化，因为f（x）只是一个抽象函数，不能由解析式直接求值，只能根据题设分式结构的特点，利用导数解决问题.一般解法是去构造新的函数，由构造的新函数的性质去求f（1）的值.联想导数的运算法则，经过比较选择构造函数h（x）=x2f（x），求 导 得 到 h′（x）=2xf（x）+x2f′（x），因 为，所以，所以当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，所以h（x）在x∈（0，1）上递减，在x∈（1，+∞）上递增，所以h（x）=x2f（x）在x=1处取得极小值，所以h′（1）=2f（1）+f′（1）=0，又f′（1）=-2，所以f（1）=1.

学生解答这道题除在方法上掌握不到位、思维习惯上有缺失外，在构造函数求解不等式问题的认知上也是模糊的，对这类抽象函数通过构造新函数求解不等式问题的总体策略不够明确.若就题论题，评讲到此为止，虽然学生知道自己解答时问题出在哪里，也能知道问题的正确解答，但总感觉缺少什么，若这里没有对此种类型问题的进一步归纳和提炼，恐怕以后学生遇到同类问题可能还是去猜.为此在讲评课上为此题设计了如下构造函数求解不等式的系列问题：

二、变式设计

1.利用导数的运算法则构造函数

根据导数的运算法则，若出现f′（x）±g′（x），可构造函数h（x）=f（x）±g（x）；若出现f′（x）g（x）+f（x）g′（x），可构造函数h（x）=f（x）g（x）；若出现f′（x）g（x）-f（x）g′（x），可构造函数，再根据构造的新函数的性质，解答与f（x）的有关问题.

问题1：（2015年全国新课标卷）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（-1）=0，当x＞0时，xf′（x）-f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）.

A.（-∞，-1）∪（0，1）B.（-1，0）∪（1，+∞）

C.（-∞，-1）∪（-1，0）D.（0，1）∪（1，+∞）

问题2：定义域为R的奇函数f（x），当x≠0时，f′（x）+，若则a，b，c的大小关系是_________.（构造函数h（x）=xf（x），答案：a＜c＜b）

问题3：定义在R上的奇函数f（x）满足f（3）=0，且不等式f（x）＞-xf′（x）在（0，+∞）上恒成立，则函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点个数为________.（构造函数h（x）=xf（x），答案：3）

问题4：设函数f（x）是R上的奇函数，且f（-1）=0，当x＞0时，（x2+1）f′（x）-2xf（x）＜0，则不等式f（x）＞0的解集为______.（构造函数，答案：（-∞，-1）∪（0，1））

以上四个变式问题都是从基础问题出发，由易到难，层层递进，而且与学生的思维水平相适应.因为变式问题对学生的思维要求较高，所以设计变式问题时要正确把握变式的“度”，要为学生提供必要的“支架”，让学生感到“有阶可上”，把较复杂的问题转化为学生熟悉的或容易解决的数学问题，逐步把学生的思维引向深入.

2.利用函数单调性构造函数

通过对所求解不等式的适当变形、整合重组等方式构造新函数，并利用导数判断所设函数的单调性，最后根据函数单调性的定义，达到求解不等式的目的.

问题1：已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=3，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜2，则不等式f（x）＜2x+1的解集为_________.（构造函数g（x）=f（x）-2x-1，答案：（1，+∞））

问题2：已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，f（x）的导数，则不等式的解集为_______.（构造函数g（x）=（fx）-x，答案

问题3：定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）+f（x）＞1，f（0）=4，则不等式exf（x）＞ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为_________.（构造函数g（x）=exf（x）-ex，答案：（0，+∞））

问题4：已知函数f（x）为（0，+∞）上的可导函数，满足（fx）＞xf′（x）恒成立，则不等式的解集为__________.（造函数等价于，由单调性定义，有，答案

以上四个变式问题都是求解抽象函数不等式，变量可以是x，可以是x2，可以是（或者其他形式），构造新函数后，由新函数的单调性不难求解.因为变式问题要同化和深化对一类问题的理解，所以问题变式的设计要有目的性和针对性，要注意知识的交叉融合，促进知识的有效整合，以点带面，帮助学生在问题解决过程中巩固知识，总结解题规律，提高解题能力.

3.利用函数式的结构特点构造函数

因为（ex）′=ex，根据导数的运算法则，若出现f′（x）+f（x），可构造函数h（x）=exf（x）；若出现f′（x）-f（x），可构造函数；若出现λ（fx）+f′（x），可构造函数h（x）=

eλxf（x），再根据构造的新函数的性质，解答与f（x）的有关问题.

问题1：已知函数f（x）为R上的可导函数，且∀x∈R，均 有 f′（x）+f（x）＜0，试 比 较 e2018f（2018）与 f（0）的 大 小_______.（构造函数h（x）=exf（x），答案：e2018f（2018）＜f（0））

问题2：定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜ex的解集为__________.（构造函数，答案：（0，+∞））

问题3：函数f（x）为R上的可导函数，满足f（x）+2f（′x）＞0恒成立，且（f2）=（其中e为自然对数的底数），则 不 等 式的解集为__________.（构造函数，答案

问题4：已知函数f（x）为R上的可导函数，满足3f（x）＞f′（x），且f（1）=e3（其中e为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）.

A.f（0）=1B.f（0）＜1

C.f（2）＜e6D.f（2）＞e6

以上五个变式问题是把抽象函数与指数函数或三角函数结合起来，由函数式的结构特点去构造新函数，求解这五个变式问题有一定的挑战性，学生要“跳一跳，才能摘到果子”.所以变式问题的设计要充分激发学生的好奇心和求知欲，设计的变式问题要处于学生思维的最近发展区，要让学生经过思考，能够跨过一个个“门坎”，既起到训练的作用，又可以培养学生的思维能力，发展学生的智力.

4.利用函数的最值构造函数

当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式问题转化为求函数最值问题.因此利用导数，通过构造函数求最值是解决不等式问题的一种重要方法.

问题1：已知定义在R上的可导函数y=f（x），当x≠0时，试判定关于x的函数的零点个数情况.

简析：构造函数h（x）=xf（x）+1，则h′（x）=f（x）+xf′（x），当x∈（-∞，0）时，h′（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，所以函数h（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，所以当x=0时，h（x）min=h（0）=1，故h（x）≥1，所以函数无零点，即零点个数为0.

问题3：设实数m＞0，若对任意的x∈（0，+∞），不等式恒成立，则m的最小值为（ ）.

构造h（x）=ex-x-1，则h′（x）=ex-1＞0，h（x）在［0，+∞）上是增函数，x∈［0，+∞），h（x）min=h（0）=0，所以x＞0，h（x）＞0，即x＜ex-1，故（fx）＞（fex-1），即

以上四个问题（问题3和问题4是具体函数）都有一定的难度，但通过合理变形构造新函数找到了解题捷径，后三个问题分别构造了两个或两个以上的函数，把问题转化为利用导数求函数的单调性与最值问题，最后问题的解决都落实到通性通法.所以变式问题的设计，要体现对基础知识、基本技能和通性通法的考查，要努力做到变中求“活”，变中求“新”，变中求“异”，变中求“广”.

5.利用变换换元构造函数

含多个变量的不等式问题，常因多元而使问题复杂，给求解带来困难，若能合理分离变量，通过变换换元选择新变量，构造新函数，可使问题转化为与之相关的新函数问题，然后求解.

问题1：已知函数（fx）=lnx，若x1＜x2，证明

问题2：函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1，证明：当a≤-2，对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|.

以上设计的两个问题都是具体函数，含有多个变量，问题较复杂，但通过变量分离，变换换元选择新变量，构造新函数，以导数为工具求得问题的解决.从抽象函数到具体函数，问题变式不是为了“变式”而变式，而是根据内容需要，遵循学生的认知规律而设计，目的是帮助学生把学到的知识转化为能力，形成技能技巧，完成“应用-理解-技能-能力”的认知过程.

面对学生解题过程中出现的各种状况，教师如何有针对性地对学生进行指导与训练，是每一位数学老师都值得去研究的问题.遵循学生的认知规律，设计数学变式问题，以及通过问题解决能很好地促使学生潜能的唤醒、挖掘与提升，自主能力的促进与发展，变中求进，进中求通，让学生在讨论中启发思路，在探索中获得方法，在归纳中形成策略，在思考中培养能力，在应用中优化思维.

1.虞懿.例析构造可导抽象函数解题［J］.中学数学教学，2016（1）.

2.2017高考数学经典题型与变式［M］.拉萨：西藏人民出版社，2016（2）.

3.王琪.例谈构造函数在导数解题中的应用［J］.中学数学（上），2017（3）.F