两种途径话解题——以三角问题为例

☉江苏省如皋市第一中学 田利剑

两种途径话解题
——以三角问题为例

☉江苏省如皋市第一中学 田利剑

数学知识的掌握和理解是循序渐进、螺旋上升的.学生解题也自然是一个这样的过程，笔者认为有些解题的错误是不可避免的，但是通过其出现的错误，加深了知识的理解，自然而然获得了知识的迁移和更深层次的思考，从而获得了对数学知识更宽泛的认识.罗增儒教授这样评价学生对于解题的错误：“我认为在恰当时候是允许学生犯错的，不要过于苛求，我作为学生时代也是常常出现各种运算错误、理解偏差，随着数学知识的丰富，我愈来愈发现原来的数学知识理解是那么的不深刻，老师用很好的对比让我理解了知识该如何运用，成就了今天我对数学解题的一点浅薄认识.”

从学生数学学习最关键问题来看，如何利用数学知识解好数学题是一个永恒的难题.大量研究表明，学生对于问题首先采用的总是直观性的思考为主，在遇到困难时候，直觉性思考往往失效，此时其比较缺乏对问题的紧密思考（对问题多角度、结合知识性的思考），从而更多的是解题的失败.基于这些研究，以及笔者自身所任教学生的一些状况，结合案例谈一谈如何引导学生走出问题解决的误区，与大家交流，不足之处恳请批评指正.

一、代数变形能力

中学数学主要是围绕几何和代数进行的解题研究，从高考真题来说，既有代数运算的考查也有图形策略的渗透.相比而言，笔者认为代数变形的能力却是中学生比较匮乏的.主要原因是：第一，初等数学中代数变形的技巧比较多，学生掌握不了所有的、全面的变形，有些问题的变形技巧又不具备一般性，因此这样的代数变形的技巧运用少之又少.第二，高考对代数变形的一般技巧有要求，对特殊的技巧并不推崇，因此学生对代数变形也愈来愈不重视，殊不知平时没有略高于应试的代数变形做准备，是很难在实战中获得快速解题的效果.

分析：初学者对于本题的代数变形是一筹莫展的，经过不断对两角和与差正弦公式的逆向使用，学生渐渐理解了公式的逆向处理，从而获得了本题的处理.y=，由利用正弦函数图像和整体性知识可知，所以原函数值域为［-2，1］.

分析：对于本题的处理，其实是代数二次函数换元类，利用余弦二倍角公式可以较为明显地处理为整体换元后的二次函数，即由可知，可以求得函数值域为

换元是代数变形的一种基本思路，中学数学中大都是初等数学，因此技能显得尤为重要一些，在技能的背后整体思想和换元思想往往贯穿于问题解决的始终，因此引导学生获得换元思想下的代数变形是根本.

分析：本题进一步提高了代数变形的要求，初学者从三角层面难以发现本题如何处理，学生的解决往往是只关注平方项.如何处理类似问题呢？如何走出解题常见的误区？教师要从代数式的本质上去引导.观察本题我们发现中每一项的系数都是二次的，考虑到正弦等同于余弦，因此这是一个典型的齐次式.显然，上述问题应该是二次齐次式，即通过降次获得代数变形的途径.原式=+1，由可知，所以原函数的值域为

从学生掌握类型来看，本题也称之为降幂结合两角和正弦公式逆用，但是其基本的“直接的”代数转换是必须要理解和掌握的.

变式4：求函数y=（sinx+1）（cosx+1） 的值域（x∈

分析：进一步提高代数变形的能力.学生对于本题的代数变形就显得有些力不从心，考虑前期解决的问题，不难发现学生往往一筹莫展.比较多的学生采用了将区间端点代入的解决方式，显然是没有道理的.将原式展开为y=sinx+cosx+sinxcosx+1，若学生深刻理解变式3自然也能思考变式4，从系统的高度可以发现：本式不是齐次式，显然sinx+cosx是一次的，而sinx·cosx是两次的，因此本题应该是典型的二次函数问题.当然，需要一定的解决技巧才能将问题显现出来.令t=sinx+cosx，则，而由得，则，所以函数值域为

学生错误的主因是不能分析代数式的本质，其往往考虑问题更为表面化，导致其愈来愈不会思考问题.教学的主要任务是帮助学生从系统的高度认识代数式的本质是二次函数，那么代数变形的主要任务是将其代数式显现出来，通过简单的换元技巧就可以实现.

分析：有了变式4的铺垫，本题的解决有些简单明了.可以这样考虑，分母中是一次函数的本质，分子中是二次函数，在学生头脑中最基本的模型恰恰是“对勾函数”模型或其相关，因此代数变形在脑海中已经成型.由sinx+cosx≠-1，所以x≠2kπ+π且，令t=sinx+cosx，则，可得其定义域：且t≠-1，所以函数值域为

二、图形思维能力

中学数学的问题还不能仅仅依赖代数变形，还需要图形思维能力的积累.华罗庚说：中学数学代数和几何是相辅相成的，切勿孤立了某一方面.在近几年的高考中，图形化的思维愈来愈成为重点的考查倾向，这是区分学生思维能力优劣的较好方式.

图1

分析：本题可以从代数变形的方面处理，相对来说其含义并不清晰.若能从图形思维出发，本题思路显得更为清晰明显.如图1，y的几何意义是定点A（-2，3）与椭圆1上任意一点（sinx，2cosx）连线的斜率，所以y的最值即为切线AC、AB的斜率.设切线方程y=k（x+2）+3，联立，得（k2+4）x2+（4k2+6k）x+（4k2+12k+5）=0.令Δ=0，得，所以函数值域为学生在本题考虑中最容易犯错的地方在于不能理解本题的图形含义，其对于几何角度欠缺知识整合，导致其无从下手.要引导学生走出解题误区的关键是加强知识间的联系，从斜率的角度思考是关键.

分析：初看本题是典型的代数问题，但是通过多种手段探索发现，本题并不是非常容易求解.从代数变形来讲，要去根号必须采用平方手段，因此用的思路将需要使用大量三角公式和运算，而且对于学生来说计算是非常复杂的.换一个视角，从图形思维的角度试试.利 用 1=cos2θ+sin2θ可 将 函 数 变 形 为 f（θ）=，则x表示为点M（cosθ，sinθ）到点P（1，1）的距离，y表示为点M到Q（-1，0）的距离，易知点M（cosθ，sinθ）在单位圆上运动，故将问题转化为已知两定点，求单位圆上动点M到两定点的距离之和的最小值，数形结合得

纵观本题的解决思路，可以引导学生两个方面：第一是中学数学问题的解决思路不外乎代数和几何，两者是相辅相成的，若代数极为容易，则几何相对复杂，若代数相对复杂，则几何较为简洁，这是辩证的哲学思想在解题中的体现.第二，引导学生学会固有的模式识别中解脱出来，不断创新思维，走出固有的解题误区想法，这有助于学生创造力的培养.

本文从代数变形和图形思维的两个角度小议了学生解题应该掌握基本想途径，从问题中去寻求合适的途径，避免了学生在解题中走入固有的思维误区.引导学生走出解题误区，恰恰需要上述两种基本途径：即代数变形能力和图形思维.笔者以三角函数问题为例，谈及不够深刻，恳请读者指正.

1.吴成海.高中数学创新教育应着力于思维培养［J］.《新课程·教育学术》，2011（7）.

2.王建鹏.一道试题的析题展示［J］.福建中学数学，2013（9）.

3.鲍建生等.障碍教学研究［J］.数学教学，2013（1）.

4.郑毓信.解题教学理论的必要发展［J］.中学数学月刊，2012（1）.