从CPFS结构理论看课堂教学的有效性

摘 要：课堂教学中强化概念教学，引导学生多角度认知概念，形成概念域和概念系。增强对命题的理解训练，帮助学生学会拆分命题。从而使学生脑中形成CPFS结构，提高课堂效率与课堂教学的有效性。

关键词：CPFS结构；课堂教学；有效性

【中图分类号】G 【文献标识码】B 【文章编号】1008-1216（2017）09B-0014-02

课堂教学的有效性一直是我们非常关心的问题。要提高课堂教学的有效性，就得找到提高有效性的途径与方法。为此，我们要研究学生学习知识的过程和知识、方法在学生头脑中形成的过程。我国学者喻平教授在2003年提出的中学生特有的CPFS认知结构，给我们找到问题的解决方法提供了极大帮助。在CPFS结构理论中，学生学习的数学知识要在头脑中形成概念域、概念系、命题域与命题系，这样的结构形成后，学到的知识、方法才稳定，而其中形成概念域是首先要攻克的关口，因为只有深刻理解了概念才会形成概念系。本文依据CPFS结构理论谈谈提高课堂教学有效性的几点认识。

一、指导学生多角度定义概念，努力使学生形成概念域

长期以来，教师在教学中注重对概念的某一定义进行的研究，而对与之等价的其他形式的定义探究太少。这样的教学过程不能使学生深入理解概念，也不能使学生形成概念域，也就不能灵活地运用概念解决相关问题。

依据CPFS结构理论，要想让学生学好数学，就要使学生在学习数学概念时学会多角度认知概念、定义概念，形成概念域。

如学习《单调递增函数》概念时，学生初次认知函数单调性会遇到一些困难，教学中应该引导学生从函数图像变化特征、函数值的变化特征以及这些特征的自然语言描述、数学符号语言表示等给出如下几个定义：

定义1：在区间（a，b）内函数图像从左到右一直上升的函数称为单调递增函数；

定义2：在区间（a，b）内函数值随自变量增大而增大的函数称为单调递增函数；

定义3：如果对任意x1，x2∈（a，b），不等式f（x1）

定义4：如果函数f（x）对任意x1，x2∈（a，b），都有（x1-x2） （f（x1）- f（x2））>0，那么函数f（x）叫做区间（a，b）上的单调递增函数，区间（a，b）又叫函数f（x）的单调递增区间。

这些关于“单调递增函数”的定义，能帮助学生围绕“单调递增函数”这一概念，从多个角度去感知、领悟函数单调递增的意义，最终理解“单调递增函数”概念，形成“单调递增函数”概念域。这对学生准确理解概念，提高课堂教学的有效性有极好的促进作用。

二、指导学生系统理解概念，使学生头脑中形成概念系

在教学活动中，如果学生仅对某个概念进行孤立地认知，那么他学到的关于概念的知识也是孤立的，不稳固的。要使学生正确地认识概念，牢固地掌握有关概念的知识，就要将新概念置于一个或多个概念体系中，系统地认识、理解概念。如在进行《函数定义域与值域》教学时，要让学生理解函数定义域与值域的概念、掌握确定函数定义域与值域的方法，除了对定义域、值域的概念进行认真剖析外，还要对函数、自变量、分式、根式、对数式以及不等式、集合、函数单调性等相关的概念进行全方位了解，也要对不等式的解法、集合的表示、函数图像示意图的画法、函数性质的应用等有正确的理解。教学中，要适时适度地渗透相关概念，使学生从整体上理解、掌握定义域、值域概念，促使学生大脑中形成定义域、值域的概念系，增强课堂教学的实际效果。

三、指导学生探究命题的多种等价形式，使学生头脑中形成命題域

学生对新知识的认知过程是一个由旧知识生成新知识的过程，这一过程中常常需要实现命题的转化。由于命题有不同的等价形式，当命题本身不易解决时可以转化为其等价形式后完成。教学中，教师要引导学生研究命题的各种等价形式，探究由这些命题组成的命题系中某一命题的解决方法，从而实现原命题的求解。例如，探究命题1“方程x+y+z=10的非负整数解的组数是 ”时，可以转化为探究命题2“将10个完全相同的小球放入3个编号的盒子，则不同的放法有 种”，也可以转化为命题3“将十个0和两个1排成一列，则不同的排法种数是 ”。这是一个由等价命题组成的命题域，只要解决其中之一就解决了整个命题系。前面的命题1、命题2解决有一定困难，但转化为命题3后，就能利用组合顺利解决：十个0与两个1站成的12个位置中选两个位置排1，其余都排0，共有C122种不同的排法。

通过这样的教学，学生能体会到命题的转化对解决命题的作用，对激发学生学习兴趣、调动学生学习积极性有着深远的意义。所以适时地引入命题的等价转化，是提高课堂有效性的积极方法。

四、指导学生探究命题间的关系，使学生头脑中形成命题系

按照CPFS结构理论，命题之间存在着等价关系、强抽象关系、弱抽象关系以及广义抽象关系中的一种关系。命题能够完成等价转化固然是好，但并不是所有的命题都能轻易实现等价转化，有时需要分解为系列子命题完成。教学活动中，教师不仅要引导学生将复杂问题通过拆分题设（强化命题条件），化解为若干个简单命题（命题系）分别完成解答，而且要将拆解的方法进行系统化处理，使学生领会拆解的一般原理及方法。这样才会使学生有章可循、有法可依，才会提高课堂教学的实效。拆解命题时，要依据所解决问题完成拆解。有的要拆解为并列的若干子命题，例如，命题“对任意非零实属a，不等式|a+a-1|≥2”可拆解为“当a>0时，a+a-1≥2”与“当a<0时，a+a-1≤-2”两个命题；有的要拆解为有先后顺序的若干子命题，例如，试题“已知⊿ABC的顶点A的坐标为A（3，5），∠ABC、∠ACB的角平分线所在直线方程分别为x+y=0、2x-y-2=0，求直线BC的方程。”拆解为试题1“求A（3，5）关于直线x+y=0的对称点A1的坐标”、试题2“求A（3，5）关于直线2x-y-2=0的对称点A2的坐标”以及试题3“求过点A1与A2的直线方程”。先完成试题1、试题2后就可完成试题3，从而完成原试题的解答。

对哪些具有较强隐蔽性的试题，解有一定难度，应该引导学生挖掘隐藏的条件完成拆解。如试题“若x，y，z都是正数，求证：x2/y+y2/z+z2/x≥x+y+z”。本题看似简单，学生却无从下手。但仔细观察，发现右边不含分母，猜测可能是两项相乘消去了，因此可以通过添加需要的项后利用基本不等式完成。挖掘出这样的信息后，原题就可以拆分为以下简单试题：试题1“若x，y都是正数，求证：x2/y+y≥2x”；试题2“若y，z都是正数，求证：y2/z+z≥2y”；试题3“若z，x都是正数，求证：z2/x+x≥2z”。这三道试题很简单，直接利用基本不等式就能完成证明。之后，将已经证明的三个不等式相加，轻松完成原题证明。

探讨命题间的关系，可以让学生养成分析问题的良好习惯。掌握分解试题的方法，就能化繁为简、化难为易，对提高课堂教学的有效性具有积极的促进作业。教学中要努力使学生形成较好的CPFS结构，系统地理解概念、公式及定理，确保教学活动的实效与高效。

参考文献：

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