浅谈“建模思想”在二次函数中的运用

李汉平

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2015）35-0281-01

“建模思想”就是根据实际题意，建立适当的模型，解决实际问题。在二次函数的学习中，“建模思想”被得到广泛的运用。下面，以一道填空题为例，谈谈“建模思想”在二次函数中的灵活运用。

问题：已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）自变量x和函数值y的部分对应值如下表：

则该二次函数的解析式为y=______________________。

分析1：表格中，总共告诉了抛物线上的七个已知点，因此，可以建立“一般式”的函数模型，且只需选取其中三个点的坐标代入即可。由于这些點的坐标中，有分数，有整数，为了便于计算，尽量选择数值小，且为整数的点，所以选择（-1，-2）、（0，-2）、和（1， 0）这三个点比较适合。

解法一：设该二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），把（-1，-2）、（0，-2）和（1， 0）分别代入得：

a-b+c=-2c=-2a+b+c=0 解之得：a=1b=1c=-2

所以，该二次函数的解析式为： y=x2+x-2。

分析2：通过观察表格，发现点就是抛物线的顶点，因此，可建立“顶点式”的函数模型来解决问题。

解法二 ：设该二次函数的解析式为y=a（x+）2- （a≠0）

把（1， 0）代入得：a（1+）2-=0

解之得：a=1

所以，该二次函数的解析式为：y=（x+）2-9/4

化成一般式为：y=x2+x-2。

分析3：再仔细观察表格，发现其中已有两对点是关于抛物线的对称轴直线x=-对称的对称点。根据表格，我们还可以写出点（1， 0）关于对称轴对称的点为（-2， 0），并把这个点补进表格中去。更重要的是，这对点是抛物线与x轴的两个交点，因此，可以建立“交点式”的函数模型来解决问题。

解法三：设该二次函数的解析式为：y=a（x+2）（x-1） （a≠0），

把（0，-2）代入得：a（0+2）（0-1）=-2

解之得 a=1

所以，该二次函数的解析式为：y=（x+2）（x-1）

化成一般式为：y=x2+x-2

综上所述，这道填空题，用三种解法，分别建立了“一般式”、“顶点式”、和“交点式”的函数模型来解决问题。这三种函数模型，各有千秋。“一般式”，直接从表格中选取三个点代入，从而得到关于a、b、c的三元一次方程组，解出方程组就可以直接得到结果；但是，计算量比较大，且选点时，要尽量选取便于计算的点。“顶点式”，只须选取一点代入即可，计算量比较小；但是，使用这种方法的前提是必须知道抛物线的顶点，另外选取的那一点，最好是便于计算。“交点式”，在知道抛物线与x轴的两个交点时，可以建立这种函数模型，这时，只需要再找一点代入即可；有时题目中只告诉与x轴的一个交点，需要我们根据题意找出另一个交点；其最后结果往往要化成一般式。

因此，在求二次函数的解析式时，或者在用二次函数解决实际问题时，我们要根据题意，建立适当的函数模型，从而能更快更简洁更轻松的解决问题。这样，我们的智慧不仅能发挥得淋漓尽致，而且能够获得事半功倍的效果。