整体化思维在数学解题中的应用

李修前

关键词：整体化；思维方法；数学；解题应用

【中图分类号】G633.6

1. 引言

整体思想是系统论的基本原理之一。一道数学题目就能构成一个系统，就是一个整体，对于一个整体的处理，就需要一个整体化的思想方法。事实上，任何一个个题目的每个条件都构成有机的整体，各个条件之间的互相利用是解决数学问题的必要前提。

在以往的解数学题的过程中，我们过分地讲究步步为营，各个击破的逻辑思维，将数学题分解成为了一个个我们能解决的问题，分解成为以往能够解决的题目类型，从而忽略了整体化的思维方法。

2.整体化思维

整体化思维是指抓住整体的信息，全面地考虑数学问题，把数学题整体对待，从整体的角度来思考、分析问题的一种思维模式。对于某些数学问题，应该仔细分析这个数学问题的整体结构，而不是只看到了一些局部的条件，通过全面地思考、观察，从宏观的角度去认识、分析、理解并解决问题。认真挖掘已知的信息在这个整体中的作用和地位，从而找到解决数学问题的思路和方法。

3. 培养整体化思维的意义

3.1 有利于数学直觉思维的发展

一般的情况下，在解决数学问题的时候，讲究的是精确，一丝不苟，步步为营，并且，反对猜测。这种情况下，很大程度地会把学生的数学直觉能力、创新能力给扼杀，从而变成简单机械的去解决数学问题。

实际上，在解决数学问题时，不仅要去猜想，还要大胆猜想，小心求证。这种猜想，需要的就是数学直觉，而整体化思维作为一种独特的思维方法，它就有利于培养学生的数学直觉能力。

数学直觉能力的两个重要特点是：一、把握数学题目的整体性；二、洞察数学题目的深刻性。数学直觉能力的产生在于对该数学题目相关的基础知识和结构的深刻了解，具体表现为在解决数学问题时的突然顿悟，因此，会出现忽视某些细节和跳过一些中间步骤过程，并且能够从整体的角度来直接把握问题的关键的现象。

3.2 有利于辩证思维能力的形成

数学中的各种思维方法体现了哲学中的各种思想，如果将哲学中的思想运用到数学当中来，这将对我们去了解数学问题的本质有着巨大的帮助，尤其是对理解掌握数学中的思维方法有着深刻的影响，从而提高解决数学问题的能力。

数学问题中普遍存在着哲学中的辩证唯物主义的观点，最常见的包括问题的对立统一规律，运动的变化规律，问题的相互联系与相互转化的规律，矛盾的转化，部分与整体的辩证思想。而整体化的思维方法强调的就是“始终把所研究的数学问题作为一个整体来对待”，这正是对立统一规律的体现，把数学问题当做一个矛盾体，从问题中的普遍发展联系、运动变化的角度来思考、观察并分析问题，从而找到解决数学问题的答案，这之间，无形中培养了辩证思维的能力。

4. 整体化思维在解题中的应用

4.1 整体代入

在遇到一些特殊的数学问题时，每个个体的求解比较繁琐，甚至会出现个体无法求解出来的现象，这个时候通常可以把某些组合式子看做一个整体，并把这个整体直接代入另一个式子，这样就可以避免繁琐的计算，避免无解的现象，这种解题方法就是整体化的思维方法中的整体代入法。

例1 假设方程 的根为 。试求出 的值。

分析 这道题可以求解出方程的根 的具体值，但是这样求解会得出两个带根号的数值。再将 的值带入后面的式子将会出现含有根式的高次式，对于初高中的学生来说，解题将会变得非常繁琐。而换个角度，用整体代入的方法将使得问题变得简单。

4.2 整体把握

在数学中的数字不仅跟这个数字本身的大小有关，也和数字所在的位置有很大的关系，正是因为这个原因，使得数学中会出现这样一类涉及数字所在的位置相关的题目，而这类问题用普通的计算难以求出结果，这个时候就可以把问题中需要求式的值或者一些式子的组合当做为一个“字母”，这样就把这个问题转化为对这个“字母”的计算，而这样往往会得到意想不到的效果，这就是整体化的思维方法中的整体把握。

例2 有一个六位数，如果将它的末位上的数字移动到首位，这样得到的新数字是原来数字的5倍，试求出这个六位数字是说多少。

分析 按常规的计算方法，这道题难以下手，但是从整体把握，将末位上的数字单列出来，而其它的数字当做整体，这样问题就可以获得一定的简化效果。

解 设这个六位数中的前面五位数为 ，末位上数字为 ，由题意可得：

因为14285刚好不能被7整除，所以 必定为7的倍数，又因为 是数字，所以由题意可得： ，因此这个六位数解得 。

4.3 整体转换

解决数学题的一个常规思路就是将问题转换成另一个简单熟悉的题目，而整体化的思维方法中也会用到类似的方法，不过整体化额思维方法是把要求解问题当做是一个整体，并且通过变形简化等方法使得整个问题转换成为另一个较为简单、熟悉的问题，这样就可以达到化难为易的目的，这就是整体化的思维方法中的整体转换。

例3 已知两异面直线 与 所成的角度为 ， 是空间的一个定点，问：经过点 且与 ， 两直线所构成的角都是 的直线共有且仅有几条？

分析 这道题对于空间的想象能力有一定的要求，并且条件非常分散，不容易求出答案。如果将这道题转换为另外一个同解题：如果两直线 ， 相交于 点，并且所成角度为 ，那么经过 点且与 ， 所成角都是 的直线有且仅有多少条？这样一来，问题一下變得简单了许多，且显然知道答案就是两条。

答 经过点 且与 ， 两直线所构成的角都是 的直线共有且仅有两条。

5. 结束语

整体化的思维方法是体现哲学辩证法思维特性的一种思维方法。在解决数学问题时应用整体化的思想，一般情况下是需要将题目中的问题或者是问题的某些条件看做成一个整体，并且通过对这个整体的结构、形式以及特征来进行分析、讨论、研究，一些特殊的问题需要通过对问题的条件和所要求的问题在这个整体中所占的地位及作用来分析研究，从而使问题得以解决。

运用这种处理数问题的思维方法，往往可以站得高，看得远，及时地发现解决问题的有效途径。在数学的学习当中，注重整体化的思维方法的学习，对于培养解决数学难题的能力有着显著而积极的意义。

参考文献

[1]鲁洁.高等数学中整体思想的具体运用[J].数学教学与研究，2011，（38）：72-73.

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