高考数学抽象函数解题方法研究

唐海燕

摘 要：在中学数学中，函数是一项非常重要的内容，是整个中学数学学习的主线，对于高等数学的学习也是必要基础。在函数中，抽象函数是一个重要部分，由于其并不具有具体的解析表达式，因而是最不容忽视的难点和重点。学生在解决数学抽象函数问题的时候，往往会遇到一定的问题。基于此，本文结合一些高考中的经典题目，对抽象函数的解题方法进行了研究。

关键词：高考数学；抽象函数；解题方法

在高中数学函数学习中，抽象函数具有较大的难度。利用此类问题，能够对学生理解函数的概念、性质、实际应用论证能力进行全面考查，同时也能够对学生接受、理解数学符号语言的能力进行综合性的考查。

一、求函数值的问题

对于此类抽象函数问题，可以对具体函数进行类比联想，从而得出解题思路。

例：在实数集R当中，有函数f（x），已知函数f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x）f（-2）=1- ，则f（2006）的值为多少。

解：根據已知条件可知，f（x+2）=[1+f（x）]/[1-f（x）]，f（-1）=2- ，如果对f（2006）进行逐步推导，将会十分麻烦。对此，我们可以利用上述式子与tan（x+π/4）=（1+tanx）/（1-tanx）进行类比，这两个式子具有类似的结构形式。在y=tanx中，有π=4×π/4，因此，f（x）也可能具有周期性，且周期为4×2=8。

f（x+4）=f [（x+2）+2]=[1+f（x+2）]/[1-f（x+2）]={1+[1+f（x）] /[1-f（x）]}/{1-[1+f（x）]/[1-f（x）]}=-1/f（x）

f（x+8）=f [（x+4）+4]=1/[-1/f（x）]=f（x）

从而得出，f（2006）=f（8×250+6）=f（6）=f（-2+8）=-f（-2）=1-。

在解决此类抽象函数问题的时候，对于任何满足条件的具体函数，抽象函数的结论都成立。所以，可以通过对一些具体函数的观察，采用类比联想的方法进行解题，并通过具体函数的性质，对抽象函数的性质进行判断，从而得出答案。

二、比较函数值大小的问题

对于此类抽象函数问题，可以利用画出函数草图的形式进行解决。

例：在R中的奇函数f（x）是增函数，在（0，+∞）中，偶函数g（x）的图像和函f（x）的图像重合，已知a>b>0，则在不等式①f（b）-f（-a）>g（s）-g（-b）②f（b）-f（-a）g（b）-g（-a）④f（a）-f（-b）

解：根据题目给出的函数画出图像，如图所示，根据图像能够直观地看出，不等式①、③成立，②、④不成立。

在解决此类抽象函数题目的时候，根据给出的函数性质及条件，将相应的图像画出，就能够直观地进行观察和了解，从而轻松地解决题目。

三、求函数解析式的问题

对于此类抽象函数问题，可以通过变量代换的方法，利用一些特殊值，进行等价转换和消元，最终解决题目。

例：已知函数f（x）满足条件f（f（π/2））=b，且b为常数；f（0）=a，且a为常数；f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且x、y∈R，求f（x）的表达式。

解：根据条件能够得知x、y具有任意性，也就是说我们可以对其进行赋值或换元。综合所有调价能够对函数方程组进行构建，从而对函数表达式进行求解。假设x=0，y=t，则f（t）+f（-t）=2acost；假设x=f（π/2）+t，y=f（π/2），则f（π+t）+f（t）=0；假设x=f（π/2），y=t+f（π/2），则f（π+t）+f（-t）=-2bsint。综合三个式子，能够得出f（x）=acost+bsint，即为得出的函数解析式。

在此类抽象函数问题的解决过程中，主要对隐含的条件进行挖掘，并合理地对其进行赋值，对相应的方程或方程组进行构建，将抽象函数的问题转化为方程的问题进行解决，这样就能够对抽象函数的问题进行快速解决。

例如，在对函数性质进行研究，或是对函数解析式进行求解的时候，可以采用代换法，将未知数x替换为-x，或是1/x。也可以在题目条件允许的范围内，对0、1、-1等特殊值进行带入。

作为高考中一种常见的问题，抽象函数问题有时利用常规的方法也难以解决。对此，我们应当仔细研究和分析题目信息，针对不同题型，采用不同的方法和策略，灵活地运用各种解题手段，从而更加快速、准确地解决问题。

参考文献：

[1]代修勇.新课标全国卷（理科）高考数学试题的研究[D].哈尔滨：哈尔滨师范大学，2016.

[2]陈海东.高考数学抽象函数解题方法初探[J].考试（高考数学版），2007（Z4）：85-87.