超空泡航行体的反馈控制设计

何朕， 庞爱平

(哈尔滨工业大学 控制科学与工程系，黑龙江 哈尔滨 150001)

超空泡航行体的反馈控制设计

何朕， 庞爱平

(哈尔滨工业大学 控制科学与工程系，黑龙江 哈尔滨 150001)

针对超空泡航行体的弱阻尼和耦合特性，提出采用内外回路的设计思想。用俯仰角反馈来对弱阻尼的动态特性进行镇定，并与运动学进行解耦。再根据深度信号作为输出，对以运动学方程为主的主回路进行设计。对所设计的系统用Nyquist法进行了理论分析，结论是这种用回路和带宽来确定反馈增益的做法是很有效的，既能满足深度控制的良好性能要求，又能保证姿态回路的稳定性。通过在扰动作用下的仿真对这个结论进行了验证。所提出的这种设计的每一步都有明确的物理解释，为状态反馈设计提供了一种新的思路，具有推广价值。

超空泡；超空泡航行体；反馈控制；频域解耦；滑行力；深度控制

0 引 言

超空泡航行体作为一种自行式的水下攻击性武器，使其快速准确的射中目标是战争取得胜利的关键。然而，水的阻力极大限制了常规水下航行体的速度。为了提高水下武器的速度，俄罗斯最先使用超空泡减阻技术研制新一代的超空泡鱼雷，目前其研制的“暴风”超空泡鱼雷速度可达到200 m/s以上[1]。超空泡技术的应用突破了水下武器速度的瓶颈，提高了水下武器的战斗力，具有重大的科研意义和军事应用前景。

在超空泡状态下，水下航行体在阻力大幅度减小的同时，大部分表面被空泡包裹失去了水的浮力作用而容易失稳，必须通过控制来保持运动稳定性。超空泡航行体的水动力特性极其复杂，使得超空泡航行体的控制设计成为挑战性问题。Kam[2]在关于美国海军研究办公室的超空泡高速航行体项目的综述中指出：控制技术的研究是超空泡武器研制的关键问题之一。

近年来，国内外研究人员在超空泡流体动力学机理研究有了一定进展的情况下，对超空泡航行体的建模与控制问题进行了一系列的研究[3-4]。乌克兰学者Savchenko[5]分析了航行体各个部分与空泡的作用关系，建立了超空泡航行体运动方程，仿真分析了超空泡航行体运动的开环稳定性，同时指出可以采用主动控制方法对超空泡航行体运动稳定性进行控制。Kirschner等[6]建立了超空泡航行体运动方程，采用四个尾翼和空化器作为控制面，设计了线性二次调节(LQR)前馈反馈控制系统，其仿真表明，采用的LQR控制可以有效保持航行体的运动稳定性。Dzielski等[7]研究了超空泡航行体的基本模型和控制问题，给出了超空泡航行体的基准参数，建立了该参数下的纵向平面的运动方程。Lin等[8]在Dzielski的研究基础上，讨论了通过调整反馈控制律比例系数来减小航行体稳态情况下的极限环震荡[9]。Vanek等[10]的研究中还考虑了空泡的记忆效应，Mao等[11]对超空泡航行体的时滞模型进行研究，采用李雅普诺夫函数的方法，给出时滞依赖的控制设计。

在正常情况下，超空泡航行体位于空泡内部，但当垂向速度超过一定的值时，航行体的尾部就会与空泡壁碰撞产生滑行力，所产生的滑行力又将航行体推回空泡内，航行体就是以这样的方式尾部拍打着空泡壁以速度V向前推进。由于空泡半径很小，故在滑行力这个外脉冲扰动作用下，如果控制系统设计不当，就会导致航行体反方向冲向空泡壁的另一侧，引起恶性循环造成不稳定。超空泡航行体设计的主要问题是保证在这种脉冲型的外力作用下系统具有良好的稳定性能。

本文的第一部分为超空泡航行体及其动力学模型，第二部分为其反馈控制设计，第三部分为仿真分析，最后为结论。

1 动力学模型

本文采用文献[7]所提出的超空泡航行体的标准结构，其主体为长度1∶2的圆锥段和圆柱段组成，如图1所示[7]。航行体长度为L，半径为R，密度ρv=mρ，其中ρ为水的密度，m为密度比。航行体的俯仰角记为θ，俯仰角速度记为q。航行体前进速度为V，垂向速度为w，深度为z。

图1 超空泡航行体示意Fig.1 Schematic diagram of the supercavitatingvehicle

超空泡航行体的大部分被空泡包裹，只有头部的圆盘形空化器和部分的尾翼与水接触产生水动力。并且当其垂向速度w增大到一定阈值时，尾部就会与空泡壁接触产生滑行力[7]。在航行过程中，空化器和尾翼产生的水动力与滑行力共同平衡重力，并保证航行体的力矩平衡。

空化器流体动力：航行体头部的圆盘形空化器直接与水接触用以产生和维持超空泡，还可以偏转一定的角度作为一个控制面产生水动力，在纵平面上其升力分量为[7]

Fcav≈Cx(αc-α)=Cxδc。

(1)

其中，

(2)

cx=cx0(1+σ)；cx0为圆盘形空化器与来流垂直时的零空化数阻力系数；σ为空化数；Rn为空化器半径；δc为空化器偏转角度；αc为空化器与来流形成的攻角。

尾翼流体动力：航行体的尾翼的一部分穿透空泡壁与水相接触也产生一定的水动力，在超空泡状态下，尾翼可以看做特殊形状的空化器来进行水动力计算，其升力分量为[13]:

Ffin=Cfαf=-nCxαf,

(3)

(4)

其中：n为尾翼效率；αf为尾翼与来流形成的攻角；δf是尾翼偏转角度。

滑行力：航行过程中，除了空化器和尾翼提供的水动力，航行体尾部有时与空泡壁接触产生与航行体垂直的滑行力，其计算公式[13-14]如下：

(5)

(6)

(7)

在小角度情况下考虑运动学方程：

(8)

(9)

根据运动方程(1)～式(9)和刚体基本动力学方程，可以得到超空泡航行体四自由度运动方程

(10)

根据参数表1[7]，算得方程式(10)中的系数如下：

其中：

C=Cx；

文献[12] 对空化器升力的计算公式提出了更正，式(10)为更正升力后推导的超空泡航行体动力学模型，与文献中已有的模型并不完全相同。

2 反馈控制设计

2.1 控制设计思想

根据滑行力计算公式(5)，滑行力与垂向速度w的关系如图2所示。为了具有一个可比的量纲(m/s2)，这里画出的是滑行力乘以系数d2后的值。从图中可见：当w超过阈值1.64 m/s后，滑行力迅速增长，达到重力加速度g的10余倍，所以垂向速度一旦超过这个阈值就会引发一个很大的反推力将航行体推回空泡内部。

图2 垂向速度与滑行力Fig.2 Planing force vs vertical velocity

这个系统的稳定性问题的特殊性在于，因为滑行力存在着死区，在空泡内的运动是没有滑行力的，所以将滑行力看做为外扰动，来分析无外扰下在空泡内的稳定性。当航行体尾部一旦偏移至空泡壁，就会受到一个脉冲的外扰(滑行力)，如果这时的稳定性欠佳，在这个脉冲扰动的作用下，航行体的尾部就会撞向另一侧空泡壁，从而又受到反向的滑行力脉冲，如此反复上下碰撞形成恶性循环，直至运动发散。所以要求控制设计应在一两次的冲撞后能回到正常工作状态，这时航行体尾部仅周期性碰撞空泡下壁产生向上的滑行力(脉冲)，这个滑行力的平均值与航行体的重力相平衡，航行体微抬头，尾部拍打空泡壁滑行前进。由于航行体的本身就具有一种弱阻尼的振荡特性，要使这样一个容易起振的航行体在狭小的空间内在碰撞几次后即稳定下来便是这个控制设计需要解决的问题。

注意到式(10)所表示的是空化器转角δc和尾翼的转角δf的双输入系统，但从输入阵的系数[0b210b41]T和[0b220b42]T来看，两者对应的正负号均相同，且数值之间存在相似的倍数关系。故虽然尾翼对航行体的稳定性有重大作用，但对于控制系统设计，这两者只是一个增益分配的问题，即不要使其中的一个过早地进入饱和。为了能更清楚地说明此航行体的控制设计中的特殊性以及本文的设计思想，所以文中将尾翼偏转固定为零度，即不参与控制，这样方便采用传递函数和零极点的观点来分析讨论。

不考虑外力时，式(10)就是一个线性方程。图3为其对应的信号流图，信号流图清楚地表明了w和q之间的动态耦合关系。

图3 控制系统信号流图Fig.3 Signal-flow diagram of the system

从信号流图3可见，状态变量z需要通过一个积分环节才能得到。所以系统中z的变化相对于其他变量是比较慢的，故控制设计中可以将系统设想为快慢两个回路。用一个快速的内回路将具有动态耦合的姿态回路先镇定住，再来设计外回路，即z回路。由于z回路是个慢回路，只要考虑内回路的低频模型即可。这种双回路的设计思想，无论是对设计还是对系统调试都是方便的，并且有明确的物理概念。下文按照内外回路的顺序来说明超空泡航行体的控制律设计。

2.2 内回路设计

图4中的Gw(s)和Gq(s)是从输入δc到w和q传递函数，根据式(10)将各系数代入后可分别求得

(11)

(12)

注意到式(12)中的符号是负的，要构成负反馈，内回路的控制器输出加到偏转角的符号应该取正号，即内回路的控制律为

(13)

式中

Td=kq/kθ。

(14)

根据式(12),式(13)和图4可知,内回路的开环传函为

(15)

从式(15)可以知道：内回路应有一个实数极点位于0到-1.317之间，这是内回路的低频模态；内回路还有一对复数极点位于-1.547±15.521i出发的根轨迹上，这一对极点就是内回路动态部分的主导极点。上面已经指出内回路是快速回路，故这里以100 rad/s的量级来作为其主导极点。以100 rad/s这么大的数来说，根据根轨迹法的基本理论可以知道，这个内回路的根轨迹近似是以负实轴上s=-1/Td为圆心的，从复数极点出发的一个圆。图5为取Td=0.01 s时内回路的根轨迹，图中标记出了Kθ=30的极点-113.7±99.41i。这对极点具有足够的阻尼，可以满足系统的稳定性要求。

图4 反馈控制框图Fig.4 Block diagram of the system

2.3 外回路设计

外回路的控制对象就是图4中所示的从u到z的G0(s)，将式(11)和式(12)代入，可得传递函数为

(16)

式(16)极点s=-1.303就是内回路的一个实数极点(见图5)，代表了内回路的低频段特性，式(16)中的复数极点s=-113.7±99.41i就是内回路的高频模态。现在外回路是慢回路，其带宽在10 rad/s的量级，所以当定性考虑外回路的设计时，可以忽略内回路的高频模态，只保留其低频模态。降阶处理时系统的低频段增益要保持不变。这样得到降阶后的外回路特性为

(17)

为使控制器结构尽可能简单，外回路只取航行体的深度信号，并采取比例控制，即控制律为

u=-kzz。

(18)

式中kz为待设计的控制器增益，而负号表示负反馈。

图5 内回路根轨迹图Fig.5 Root locus of the inner loop

注意到这对复数零点与内回路设计无关。因为系统的零点是由前向通道的零点决定的。从图4中u到z的传递函数构成可以看出，传递函数G0(s)的零点是由Gw(s)和Gq(s)的分子多项式nw和nq所决定的(参见公式(11)、(12))，而与内回路的反馈控制器参数无关。

这个容易起振的特性，在一般鱼雷的深度控制中也都是存在的。鱼雷和超空泡航行体不同，鱼雷直接与水相接触，所以其动力学方程是不同的，但同样也有动力学和运动学之间的耦合问题。早期的鱼雷，会因为深度控制时上下沉浮的幅度过大而从目标舰下面穿过而没有击中目标[15]。当然早期的控制问题中传感器的灵敏度不高也是导致沉浮过大的一个主要原因， 但是动力学与运动学之间的耦合使深度控制容易起振是一个根本的原因。

图6 外回路根轨迹图Fig.6 Root locus of the outer loop

上面采用低频模型是为了说明外回路容易起振的本质，现在来确定外回路的增益，图7为kz=1时系统的Bode图，当kz增加时，幅频特性曲线将向上移动，或者说图中的0 dB线(线1)相应的往下移，当增大到kz=15，相应的0 dB线将移至线2的位置，此时系统还能将0 dB线以上的低频特性和0 dB线以下的高频特性分隔开，即在频域上是解耦的，便于保证外回路的稳定性能。当然增益小系统的稳定性能会更好，但是航行体是处在空化器升力、滑行力、及重力平衡的状态下运行的，力平衡下的比例控制存在误差，如果增益变小，相应的深度的静差就会增大，有可能超出空泡的内径使航行体脱离空泡运行，所以kz应该大一些为好。综上所述，从Bode图上分析，kz=15为较为合适的值。

2.4 设计的Nyquist法分析

图8为kz=15时系统的Nyquist图。图中ωc是Nyquist图线穿越单位圆时的频率，ωc=5.55 rad/s。从图中可见，ωc之前的特性是一种典型的具有良好性能的二阶系统的特性，而俯仰角姿态回路的动态特性在本文的设计思路下已被压缩到单位圆内，不再影响外回路的特性。由此可见，本文提出的这种用回路和带宽来确定反馈增益的设计方法可以保证系统具有良好的稳定性能。

图7 外回路Bode图Fig.7 Bodediagarm of the outer loop

图8 外回路Nyquist图Fig.8 Nyquist diagarm of the outer loop

将上面设计的外回路控制律(式(18))与内回路控制律(式(13))合在一起，根据图4可以得到：

δc=u+v=

-kzz+kθθ+kqq。

(19)

其中：kz=15，kθ=30，kq=0.3。即控制律为：

K=[15 0 -30 -0.3]。

(20)

从最终的控制律式(20)看，这也是一种状态反馈，只是这里是将动力学各状态变量之间的强耦合和动力学与运动学之间的耦合分隔开来处理而得到的控制律。虽然最终系统主导极点的阻尼较低，但这是运动学与动力学之间的耦合所造成的固有特性，与现有的控制设计无关。应该说这已是一个较为理想的设计，如果用一般的状态反馈设计，或者说换掉式(20)中的各项系数，系统的动力学与运动学之间就会交叉影响，使原本就容易起振的系统特性更趋恶化。

3 性能的仿真分析

上文是从提高回路的稳定性的角度来设计控制律，而在实际工作情况下，有滑行力和重力的作用，下面来分析有外力作用下的系统的稳定性能。

设初始状态为零，在本文所设计的反馈控制律(20)作用下，各个状态变量的响应曲线如图9所示，相对应的空化器偏转角及滑行力如图10所示。

图9 系统的响应曲线Fig.9 Responses of the system

从图中可见：在这个反馈控制作用下，航行体很快进入了小振幅的稳态运动状态。在航行过程中，由于受到重力的作用，当垂向速度w达到产生滑行力的阈值时，尾部就会与空泡壁碰撞，所产生滑行力又将航行体“弹起”，滑行力消失，航行体受到重力的作用又会再一次与空泡壁碰撞，如此反复呈现周期性的滑水现象。

图10 滑行力和空化器偏转角Fig.10 Responses of the planing force and the cavitator for feedback stabilized HSSV

当航行体受到某种扰动的情况下，设这种扰动使航行体的相对速度出现了一脉冲型的波动Δw，脉冲幅度为3 m/s，延续时间为0.2 s，图11为这个脉冲扰动下航行体的垂向速度的响应过程，图12为其相应的空化器转角及滑行力。

图11 垂向速度的扰动响应Fig.11 Response of the vertical velocity under disturbance

从图11中可见，在所设计的控制律(20)作用下，经一次反冲后系统就恢复了原来的稳态的运动状态。这说明了设计的控制律具有良好的稳定性能，满足设计要求。从图12中的空化器转角曲线可见，如果kz>15，在调节过程中，其正反向的峰值都会超过0.5 rad(图略)，即当增益过大时执行机构很容易进入饱和区，实际上也达不到理想的效果。所以这里的仿真分析与理论的Nyquist图(图8)分析是一致的，即外回路的增益kz=15是一个较合理的选择。

图12 扰动作用下的滑行力和空化器偏转角Fig.12 Planing force and the deflection angle of cavitator under disturbance

4 结 论

超空泡航行体的沉浮和俯仰运动之间存在着较强的动态耦合，而且航行体的动力学与运动学之间还存在着耦合。由于动力学方面的响应一般是比较快的，所以动态耦合引起的稳定性问题用姿态回路先来镇定。运动学方面的耦合关系一般是比较慢的，可以只用内回路的低频模型来处理外回路的设计问题。这样的设计处理其物理概念清楚，而且每个回路设计时的阶次又比较低，也便于设计。虽然这个设计结果相当于是状态反馈，但是这里的每一个状态反馈增益的选取都有明确的物理含义。也可以说，本文所提出的方法可以为复杂系统的状态反馈设计提供一种新的设计思路。

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Feedbackcontroldesignforsupercavitatingvehicles

HE Zhen， PANG Ai-ping

(Department of Control and Engineering, Harbin Institute of Technology,Harbin 150001，China)

Because of the coupling effect and lightly damped dynamics of the high-speed supercavitating vehicle(HSSV), a decoupling inner-outer loop design is proposed. The pitch angle can be considered as a feedback signal of the inner loop which is used to stabilize the lightly damped mode and to decouple the vehicle dynamics from the kinematic movement. The depth signal was then used as an output for the main loop which was dominated by the kinematic equations of the vehicle. The resulting design was theoretically verified by the Nyquist theory. It is noticed that the determination of system gain by using the concepts of loops and bandwidth is proved to be useful. Simulation result for HSSV under external disturbances was presented.It is noticed that there are explicit physical meanings in each of the design steps, so the proposed method may be further used as an alternative approach for state feedback design.

supercavitation; supercavitating vehicle; feedback control; frequency domain decoupling;planing force;depth control

(编辑：刘素菊)

2017-03-08

国家自然科学基金重点资助项目(U1564207)

何 朕(1972—)，女，博士，教授，研究方向为鲁棒控制、H-inf控制等； 庞爱平(1986—)，女，博士研究生，研究方向为控制理论、H-inf控制、水下航行体控制与制导。

庞爱平

10.15938/j.emc.2017.08.014

TP 273

:A

:1007-449X(2017)08-0101-08