攻克平面向量的法宝

梁义

摘 要：将一个抽象的数学量—向量，正确的表示成具体的式子或图形，并且用数形结合的思想，将其互相转化，从而解决较为复杂的向量问题。

关键词：向量；向量的表示；数形结合

“向量”作为数学工具，不仅在学习平面几何、三角函数、解析几何、复数理论等方面有着特殊的作用，在数学之外的物理学、航天航海等方面有着广泛的应用，还在深入研究数学理论、数学应用方面有着十分重要的作用。但是，学生在认知向量方面，总是显现“弱智”。要么就看成是“数”，类比实数的方法处理向量，结果是，差之毫厘失之千里；要么就无从下手。究其原因：不能正确的表示向量，更不能将三种表示互相转化，所以就“无从下手”。

向量是既有大小、又有方向的一种数学量。通常有下列三种表示方法：1、几何法（有向线移）；2、基底法（平面向量基本定理）；3、坐标法（正交基底）。本文就向量的表示，互相转化为例，说明如何解决向量问题。下面以例说明：

例1：（2015·高考福建卷）已知 ⊥ ， = ，若點P是△ABC所在平面内的一点，且 = + 则 的最大值等于（ ）

A.13 B.15 C.19 D.21

解法1（坐标法）：

以A为原点，AB，AC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图.则A（0，0），B（ ，0），C（0，t），所以 =（1，0）， =（0，1）， 所以 = + =（1，0）+4（0，1）=（1，4），所以P点的坐标为（1，4）， =（ -1，﹣4）， =（﹣1，t-4）

所以 · =﹣1-t-4t+16=﹣（ +4t）+17≤﹣4+17=13.当且仅当 =4t即t= 时取“=”，所以 · 的最大值为13.

解法2（基底法）：

= - = -（ + ）

= - = -（ + ）

· = · - ·（ + ）- ·（ + ）+（ + ）2

=- +1-4t+16=- -4t=17≤-4+17=13

点评

1.因为图形十分完善，故可以选择坐标法。用坐标运算，简洁、明快。

2.基底表示向量是“基本定理”，基本上是“全能”的解决向量问题，而选择基底是关键。

3.我们充分的应用了表示的相互转化，将“几何”转化成了坐标、基底，显然是解决问题很有效的方法。

仿照例1，我们再举例说明“表示”的方法的重要性。

例2：（2015年全国1第15题）△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数

解：以O为原点，BC的垂线为Y轴建立直角坐标系，

设A（x1，y1），B（-x2，y2）.则C（x2，y2）

又设H（x，y）

∴ + + =（x1，y1+2y2）， =（x1，y）

∵ =m（ + + ）

∴m=1

点评：

1.本题的“下手”十分困难，十几年来，我查阅了很多资料，从未发现此题的“规范”解法（只有高考试题的答案中使用了特殊法，以直角三角形为例做出了答案，其实作为填空题，其做法不规范。）但用坐标表示，并不是很难，请大家赏阅。

2.此题的基底计算，或者几何证明，的确很困难，其切入口（基地选择）不明确，运算量大，本人未找到合理的解法，各位同仁有解法者，请奉献，我们共勉。