数学思想方法，理解性学习的绿色通道

叶海英　潘旭东

[摘 要]数学思想方法是小学数学教学的重要内容，数学思想方法的学习与应用，能有效促进学生理解性学习。提高学生的理解力能促进学生进一步的学习与理解。“数与形”是“数学广角”里的内容，教师在教学中应强化过程，让学生真切地体会到数学思想方法的魅力。

[关键词]数与形；数学思想方法；理解力

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）23-0008-04

【目标预设】

1.通过观察与思考，让学生充分感知数与形的内在联系。

2.在问题解决的过程中让学生建立数形结合的数学思想。

3.运用数形结合思想培养学生的数学理解力。

【教学流程】

一、回顾形与形、数与数的联系，引发学生思考

师：我们是怎样推导平行四边形面积公式的？

生1：把平行四边形沿着一条高剪开后，拼成一个长方形，求出长方形的面积就得到平行四边形的面积。

师：怎么计算+？

生2：先通分，转化成同分母后再计算。

师（小结）：把平行四边形转化成长方形，是形与形的转化；把异分母分数转化成同分母分数，是数与数的转化。无论是形与形的转化，还是数与数的转化，都是为了方便我们解决问题。那么数与形能不能互相转化，数与形之间有没有关系呢？今天这节课我们就一起来研究“数与形”。

【评析】通过复习推导平行四边形面积公式的方法及异分母分数加减法的方法，唤起学生的认知，让学生明白形与形之间和数与数之间都可以互相转化。此时，教师自然地提出问题，引发学生思考：数与形能不能互相转化，它们之间有没有关系？让学生围绕这一基本问题展开探究和学习。

二、体会形中有数、数中有形，数形相关

1.探究图形对应的数，体会形中有数

师：你发现图1中四个图形之间的规律了吗？请用数或式子表示你发现的规律。

（学生思考，教师巡视并收集三种不同的表达方式，然后全班交流）

生1：我是用数“1、4、9、16”来表示的。第一个图形有1个小正方形，第二个图形有4个小正方形，第三个图形有9个小正方形，第四个图形有16个小正方形。

生2：我是从正方形的边长入手找规律的。一个小正方形的边长是1，那第一个图形就是（1×1），第二个图形就是（2×2），后面两个图形分别是3×3和4×4。

生3：我用算式“1，1+3，1+3+5，1+3+5+7”来表示。第一个图形用“1”表示，第二个图形是在第一个图形的基础上增加了3个小正方形，第三个图形是在第二个图形的基础上增加了5个小正方形，第四个图形是在第三个图形的基础上增加了7个小正方形。

师（追问）：你们能理解生3给出的规律吗？第四个图形中的1、3、5、7分别是什么？请指一指。

（教师结合学生的发言，用不同颜色的笔在图形中标记3、5、7对应的位置）

师：这几种观察规律的角度有什么不一样的地方？

生4：生1从小正方形的数量来观察，生2从图形的边长来观察，生3是从图形增加的个数来观察的。

师（小结）：同一组图形，尽管观察的角度不同，但是我们都找到了数的影子。

2.探究算式对应的图形，体会数中有形

师：生3给出的规律比较难理解，我们再进一步研究。

师：沿着1+3+5+7这个规律继续思考，1+3+5+7+9+11+13对应的图形会是什么样子的？

（学生小组讨论后交流）

生5：对应的是边长为7的正方形。因为（13+1）÷2=7，所以得到边长为7的正方形。

生6：因为1+3=4，就是2的平方；1+3+5=9，就是3的平方。以此类推，“1、3、5、7”4个数相加的和是4的平方，“1、3、5、7、9”5個数相加的和是5的平方，“1+3+5+7+9+11+13”中有7个数，就是边长为7的正方形。

师：请填写（ ）=102。

生7：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=102，答案是从1开始的连续10个奇数相加。

师：回顾刚才的探究过程，我们在图中想到了数，在数中想到了图，那数与形有关系吗？

生（齐）：有。

师：是的，数中有形、形中有数，数与形之间确实有关系，那么到底有怎样的关系呢？我们继续探究。

【评析】教师引导学生从不同角度观察同一幅“正方形方格图”，通过看一看、说一说、比一比、想一想等活动充分调动学生的多种感官，让学生体会“形”中有“数或算式”，然后引导学生想象1+3+5+7+9+11+13这个式子对应的图形是什么样子，让学生感悟“数或算式”也可以用“形”来表示，初步感知数与形的完美结合。这一环节中，学生在观察、分析、发现、想象、推理等过程中经历“数与形”的对应、转化和结合，实现了多种数学基本思想和方法在数学教学中的渗透，使学生感受到了数学的魅力。

三、体会以形助数、以数解形、数形互助

生2：我发现后面还有一个省略号，说明后面还有很多很多的数，有无数个这样的数相加。

师：和是多少呢？

（大多数学生感到茫然）

师：没感觉是吗？我们可以借助图形找找感觉。

（请学生拿出教师课前发的练习纸，纸上画了一个圆形、一个正方形和一条线段）

师：请从一个圆形、一个正方形和一条线段中任选一个，然后在你选择的图形中找到它的，在的基础上加上它的，再加上它的，按算式的要求一直加下去，看看能不能找到和是多少。先独立操作，然后小组交流，最后派代表展示。

生3：我先把一个圆形平均分成2份，找到其中的一份涂上颜色，再把另外一份平均分成2份，也就是整个圆形的，然后继续平分，一直加到。如果再一直加下去，空白部分会越来越小，但是总有一点点空出来。

生4：我是利用线段来找的，一直加下去，和会越来越接近1，但不等于1。

师：我用正方形来演示。

师（一边演示一边问）：按这样的规律加下去，和是多少？

生5：无限接近1，但不等于1。

生6：加上无穷无尽的数应该等于1。

师：有的同学认为结果等于1；有的同学认为结果越来越接近1，但不等于1，与1差了那么一点点。意见不统一！不着急得到最终的结果，先来看看你们在画图中的收获。通过画图，我们知道了这个式子的和与几有关？

生（齐）：与“1”有关。

师：无论是认为等于1，还是认为和1差一点，起码我们有了方向——结果与“1”有关系。这就是画图的好处，它能帮助我们找到一种感觉、一个方向。但是，我们还有困惑，结果到底等于1，还是接近1？你们觉得画图能回答这个问题吗？

生（齐）：不能。

师：这就是画图的缺陷，它不能准确地、精细化地表示结果。当画图解决不了问题时，我们可以用数来进行推理。既然“和”与1有关，我们从1开始想。

师：让我们回顾刚才的探究过程。刚开始大家看到这样一个算式，不知道等于几。是谁帮助我们找到了感觉，找到了“和”与1有关系？是的，图形帮助我们发现，按照这样的规律加下去，“和”越来越接近1，甚至有同学想到等于1。当图形不能精确地表示出“和”到底是等于1，还是接近1的时候，谁又帮助我们找到了准确结果？

生（齐）：数。

师：是的，数又帮助我们通过推理得出“和”就等于1。你们觉得数和形之间有着怎样的关系呢？

生9：密不可分的关系。

生10：数与形可以互相帮助。

师：关系非常密切，你中有我，我中有你，互相帮助。其实，在我们以前的学习中，就有很多地方都体现了数形之间互相帮助的特点。

【评析】课本的例2是一道无穷递缩等比数列的求和问题，这道题对学生来说非常抽象，不易理解。到底和等于多少？在激起学生的学习需求与愿望后，教师引导学生用图形解决问题，让学生在图中找答案，学生借助这些直观的“形”发现这个算式的结果好像是1，好像又不是1。因为通过直观图可以看到，无论怎么分割下去，图中好像总有“剩余部分”。但就在这个画图的过程中，学生借助直观图发现该算式的结果应该与“1”有关。可见，直观图给求解抽象算式的任务指明了大方向。

师：我们一起回忆，利用长方形模型可以帮助我们理解分数乘法的算理；利用线段图可以帮助我们理解分数除法的算理；学习几何知识时，因为有了度数，我们就可以准确地说出89°是一个锐角，尽管它与直角很像。两条平行线之间距离都是2cm，说明这两条直线互相平行。这些例子都体现出数与形之间的互相帮助。

师：我国一位非常有名的数学家华罗庚很早就说过这样的话：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”将数、形结合起来就能很好地解决数学问题，数形结合也是一种非常重要的数学思想。

【评析】教师带领学生回顾小学阶段所学习的与数形结合思想相关联的知识，让学生感受到“数与形”并不陌生，使学生真正体会以形助数、以数解形、数形互助的关系。最后引用数学家华罗庚的话，让学生和数学家产生共鸣，在得到数学文化的熏陶的同时进一步感受数形结合思想的价值。

四、数形结合应用

师：你能利用图3找出（a+b）2和a2+2ab+b2的关系吗？

生1：（a+b）2表示大正方形的边长乘边长，就是大正方形的面积，把这个大正方形分割成四个部分，其中有两个部分都是正方形，面积分别是a2和b2，另外两个部分是长方形，它们面积相等，面积的和是2ab，因此可以推导出（a+b）2=a2+2ab+b2。

师：图4是同样的一个正方形，如果这样分割，你能求出这个图形的面积吗？

生2：面积是c2+2ab。

生3：图3和图4的面积相等，得到a2+2ab+b2=c2+2ab，等式两边同时减2ab，得到a2+b2=c2。

师：通过数形结合，我们得到了初中时会学到的完全平方公式和勾股定理，再一次证明了“数形结合百般好”这句话。

五、课堂小结

师：今天学习的数与形，只是帮我们打开了一扇窗，更多数与形的知识还在等待同学们去探究。如果大家有了数与形的意识，相信以后的数学学习会更精彩。

【总评】

学生一开始学习数学，数形结合的思想就一直伴随他们左右，所以学生已经积累了一定的活动经验。本节课的教学把数形结合的思想作为核心教学内容，让学生进一步体会到数形结合思想的实际意义。

1.提炼基本问题，引领学生思考

“提问”是教师引领学生思考的重要手段。本节课围绕“数与形之间有没有关系？”“数与形到底有怎样的关系呢？”这些基本问题展开教与学的互动，学生自主探究，在经历观察、分析、发现、想象、推理等活动后，能够感受数与形密不可分的关系。在学习完例2后，教师引领学生思考：“数与形有怎样的关系呢？”因为有了前面的讨论交流，学生的回答十分精彩：“这两个是相互依赖的关系”“相互牵连的关系”“密不可分的关系”“互相幫助的关系”。

2.细化教学目标，促进学生感悟

事实表明，有效的教学必然需要将课时目标细化，让环节目标层层落实、步步深入。本节课的目标分为两个层次：第一层次，体会形中有数、数中有形，数形相关；第二层次，体会以形助数、以数解形，数形互助。本节课的目标是立体的，聚焦“数形结合”思想之外，我们看到了“运算能力”“空间观念”“极限思想”“归纳推理”等数学素养的渗透，看到了“事物是普遍联系的”哲学思想的渗透。随着环节的层层深入，学生的感悟也是层级递进的。

3.精选学习素材，丰富学生体验

为了让学生体验数形结合，除了教材例题外，教师增加了大量素材，既有以前学过的例子，又有新的问题，如：“×”“2÷”“平行线之间的距离相等”“89°角”等。通过多素材、多层次的分析交流，学生对于“数与形有紧密联系”的感受更为充分。不仅如此，不同的素材又指向于不同目的，有些是“以形助数”，有些是“以数助形”。最后练习环节，学生运用数形结合的思想解决了初中才学习的“完全平方公式”与“勾股定理”。如此巧妙贴切的设计，令人耳目一新。

（责编 金 铃）