MPCK视角下的数学专题教学

万赢银

[摘 要] 专题教学作为课堂教学内容的重要组成部分，如何组织专题教学值得深入研究. 本文从MPCK的视角纵观专题教学的出发点、立足点、落脚点，通过教学案例，阐述MPCK视角下专题教学的实践与思考.

[关键词] MPCK，数学专题，问题驱动，数学素养

数学专题是数学课堂教学活动的重要组成部分，它以具有一定综合性的内容为载体，以形成知识网络为指向，以提升学生综合运用知识解决数学问题、提升能力为目的，具有一定的操作性、指向性和实效性.

当前专题教学中，“大容量+大范围”的现象较为普遍，其结果是学生没有真正理解数学知识，不能抓住其本质，在解决问题时束手无策、无从入手. 存在这种现象的主要原因有：①有些教师没有透彻地理解问题的实质，只是通过一些例习题带过，缺乏深入讲解，导致学生学习效果甚微；②对专题教学认识不够、定位不准，以为学生会机械地模仿就能解题；③不了解学生的认知规律，以为大容量、大范围、快进度就能带来高效率. 这样的专题教学往往失去了数学的本质，学生不知道数学思想源自何处、有何作用，自然也就对数学学习失去了兴趣.

一个具有优秀MPCK的教师在教学中会让学生充分地认识到：数学专题不仅仅是“题海战术”，在实践和应用中更蕴含着“火热的思考”.

[?] MPCK的内涵与结构

20世纪80年代，美国学者舒尔曼提出了“缺失的范式”，给出了PCK概念，为人们进一步理解教与学提供了更加广阔的视角.就数学教育而言，掌握丰富的数学学科知识并不能有效地促进教师专业发展，教师更需要具备MPCK，即具备数学学科知识（MK）、一般教学法知识（PK）、有关数学学习的知识（CK）以及教育技术知识（TK），才能将学科知识有效地传递给学生.

1. MPCK视角下的数学专题教学

数学专题不仅是对知识的深化和方法的拓展，更是对数学思想方法的探索过程的辨析与能力的提高. 因此，在数学专题教学中要突出学生的主体性，充分让学生参与教学过程，使学生生动、活泼、主动地学习.教师应从MK、PK、CK、TK的角度开展数学专题教学，让学生成为解题方法的参与者和发现者.

从MK的角度分析，教师应具备丰富、系统的数学学科知识. 在专题教学中，教师应做到以下几点：

①“问题是数学的心脏.”专题教学中要选择一些知识点覆盖面广、解题方法多、思维含量高的习题作为素材，按照“知识问题化、问题层次化”的设计思路组织课堂活动.

②“学而不思则罔，思而不学则殆.” 要在专题教学中适时地归纳总结，挖掘问题中蕴含的数学思想，引导学生在建构基础知识的同时奏响数学思想的“主旋律”.

③教师在专题教学中要注重知识的自然生成，潜意识地进行教学预设，激发学生的学习兴趣，有助于学生知识体系的建构.

从PK的角度分析，教师应选择恰当的教学方法组织教学，完成既定教学任务. 数学专题教学一般可按照以下步骤进行：①创设问题情境，引入专题；②形成解题策略，分析解题困境；③探究优化方法，启发、引导问题解决；④引申、变式、探究、研讨；⑤总结、归类反思方法.在具体的教学中适时调整，以问题的发现、探究和解决为中心，通过发现、分析、创造性地解决问题去激发学生的求知欲、创造欲和主体意识.

从CK的角度分析，教师应充分把脉学生的知识水平、学习能力，确定教学专题做到因材施教，设计符合学情的教学活动，在活动中帮助学生夯实基础，又能突破专题难点.

从TK的角度分析，教师应根据专题教学的特点，合理运用现代教育技术辅助教学，运用现代教育技术直观、动态地呈现数学规律、数学现象. 此外，现代教育技术的应用也为提高专题复习课堂的效率提供了技术支撑.

[?] MPCK视角下的数学专题教学案例分析

以高三数学教学专题“三角形中的三角函数”为例.

1. 课堂引入——专题教学以问题驱动为出发点

《普通高中数学课程标准（实验）》强调“要让学生在现实、生动具体的情境中和已有知识的基础上体验和理解数学知识”. 因此，在专题教学中创设适当的问题情境，让学生感受数学，激发源动力.

引例1：（2015年江蘇卷）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°，求BC的长及sinC.

引例2：（2013年全国卷Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，C=，求△ABC的面积.

引例3：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足acosB-bcosA=c，求的值.

引例4：在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC， sin∠BAC=，AB=3，AD=3，求BD的长.

评析：（1）从MK和PK的角度来看，本环节的目的是让学生通过一些问题感知“三角形中的三角函数”专题中常见的处理策略：在一个或多个三角形中运用正、余弦定理进行边角互化解三角形，从而完成对三角形中的三角函数专题的第一次认识.

（2）从CK的角度来看，根据认知心理学理论，学生对知识的认知将经历感知、推理、创造的过程. 通过创设问题情境，帮助学生建立与新知识联系的桥梁，形成完整的知识体系. 同时激发学生的学习兴趣，让学生了解专题产生的背景以及它的作用，懂得数学知识并不是独立的，而是一脉相承的. 因此，以问题为驱动，引入课题是专题教学有效的切入点.

2. 探索体验——专题教学以学生探究为立足点

《普通高中数学课程标准（实验）》指出，课堂教学要善于激发学生“自学、互学、群学”的学习热情，专题教学中常通过设计一些问题让学生进行探究交流.

例1：在△ABC中，AB=4，AD为BC边上的中线，∠BAD=30°，cos∠ADC=，求AC的长.

通过分析，利用正、余弦定理可以解决这个问题，学生主要的困惑在于面对多个三角形如何灵活地选用正、余弦定理. 为突破这个难点，可再设计一组问题串：

问题1：在△ABC中，AD为BC边上的中线，且∠BAC=120°，BC=2，AD=3，求AC的长.

问题2：在△ABC中，AD为BC边上的中线，且AB=4，AC=2，∠BAD=30°，求BC的长.

问题3：在△ABC中，∠A=120°，AD为∠A的平分线，且BC=2，BD=，求AC的长.

通过这几个问题的讨论、交流，引导学生深化对知识的理解，提升转化和化归的能力.

评析：（1）从MK和PK的角度来看，本环节的目的是让学生深化对知识的理解和运用，提升分析问题、解决问题的能力. 在设计时，注重学生的课堂参与度，努力搭建平台引导学生自主探究、自主提升，充分体现学生的主体性，让探究成为专题教学的立足点.

（2）从CK的角度来看，根据皮亚杰的认知发展阶段论，高中学生已具备较高的认知水平，通过第一环节的学习已经初步掌握了利用正、余弦定理解决三角形中的边角问题，但是面对多个三角形如何灵活地选用正、余弦定理还是存在困惑，因为把复杂的问题转化、化归为简单的问题，对高中生来说难度较大.

（3）从PK和TK的角度来看，利用现代教育技术手段呈现知识的自然生成，而要使知识得到有效的建构，有赖于学生主动探索与思考. 教师可适当地选择启发式、探究式等教学策略，引导学生积极地思考，自主探究，化解问题的难点.通过设计几个问题串把学生的思维推向深化，加深他们对知识的理解和运用.

3. 应用提炼——专题教学以思想方法为落脚点

“学而不思则罔，思而不学则殆.”专题教学不仅仅是单纯的习题教学，更重要的是在问题解决过程中凸显解题策略和数学思想方法.

例2：已知在△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，求++的最大值.

解：不妨设BC=a，AC=b，AB=c，AB边上的高为h，根据正弦定理及三角形的面积可得ch=absinC. 又h=c，所以c2=absinC，即c2=absinC.

由余弦定理知，c2=a2+b2-2abcosC，所以a2+b2=absinC+2abcosC，从而++====2sinC+2cosC=2·sin

C+

.

所以，当C=时取得最大值2.

思维拓展：

1. （2008年江苏高考第14题）已知在△ABC中，AB=2，AC=BC，求△ABC的面积的最大值.

2. 已知平面向量m，n满足

n

=1且m与n-m的夹角为120°，求

m

的最大值.

通过例2和思维拓展题，学生的思维在广度、深度上得到了拓展，对本专题的掌握在解题方法和数学思想上有了质的突破，提升了运用数学思想、数学方法解决问题的能力.

评析：（1）从MK的角度来看，每个数学问题都蕴含着一定的数学思想、数学方法. 例2中最值问题在本质上是函数问题，运用正、余弦定理解决三角形里的最值问题是函数问题的常见解题策略.

（2）从CK的角度来看，经过前面三个阶段学生已有一定的知识储备，例2就是让学生将知识提炼升华到方法层面，更深层次地培养学生运用正、余弦定理解决三角形问题的工具意识.

（3）从PK的角度来看，专题教学更注重数学核心素养的培育. 例2让学生体验到正、余弦定理与三角恒等变换、三角形面积公式、基本不等式的综合应用，在应用里体会数学问题中蕴含的数学思想、方法，逐步掌握程序性知识和策略性知识，优化认知结构，同时在思维的训练中引领数学核心素养的培养.

[?] 结语

专题教学是一项复杂、艰巨的教学任务，它不但需要教师做好充分的课程准备，更需要教师能够根据学情适时地调整教学模式和教学方法. 在专题课题的选材上往往以学生的信息反馈、教材习题、试题研究、教研活动等为生长点，教师要扮演好专题教学的策划设计者、引导调控者、鼓励评价者、梳理升华者，学生要成为专题教学的积极参与者和发现者，引导学生从认识上、思想上揭示问题的本质，进而培养和发展学生的数学素养和创新意识.

专题是高中数学课堂的重要内容，如何通过专题教学让学生认识到其中蕴含的数学知识的本质，这就需要教师具备专业的MPCK. 只有具备良好的MPCK，才能创造性地组织、实施教学，锻炼学生的思维，同时教师的个人教育教学素养也将得到提升.

参考文献：

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