关于大学数学教学的探讨

孙小康

摘要：结合近几年来课程中的教学实践，针对模块化教学方法的弊端，只重视讲授教材内容忽视数学学科之间的联系，就更新教学观念，转变教学思想，改进教学方法等方面进行了深入的探讨。

关键词：微积分；高等数学；复变函数

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）32-0210-02

复变函数是理工科的专业基础必须课.在本科数学专业，复变函数论在整个课程体系中起着承上启下的重要作用.

采取科学而有效的教学方法，将烦琐而复杂的知识进行合理的梳理和整合，让学生更轻松更容易地接受和理解知识.

多元函数的基本概念：设D是开集，如果对于D内任意两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通的.聚点：设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点，如果点P的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E的聚点.

如果函數z=f（x，y）在点（x，y）的某邻域内有定义，并设P′（x+Δx，y+Δy）为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）为函数在点P对应于自变量增量Δx，Δy，的全增量，记为Δz，即 Δz=f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）.

如果函数z=f（x，y）在点（x，y）的全增量Δz=f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o（ρ），其中A，B不依赖于Δx，Δy，而仅与x，y有关，ρ=■，则称函数z=f（x，y）在点（x，y）可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f（x，y）在点（x，y）的全微分，记为dz，即dz=AΔx+BΔy，函数若在某区域D内各点处处可微分，则称这函数在D内可微分.如果函数z=f（x，y）在点（x，y）可微分，则函数在该点连续.

可微的条件：定理1（必要条件） 如果函数z=f（x，y）在点（x，y）可微分，则该函数在点（x，y）的偏导数■、■必存在，且函数z=f（x，y）在点（x，y）的全微分为

dz=■Δx+■Δy.

一元函数在某点的导数存在与微分存在等价，但多元函数的各偏导数存在，全微分不一定存在.可举例说明多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在.

定理2（充分条件） 如果函数z=f（x，y）的偏导数■、■在点（x，y）连续，则该函数在点（x，y）可微分.

习惯上，记全微分为dz=■dx+■dy.

通常可以将二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和称为二元函数的微分符合叠加原理，全微分的定义可以推广到三元及三元以上函数：

du=■dx+■dy+■dz.

问题1：能否找到一充分必要条件，准确地刻画全微分的性质.

问题2：能否找到一个处处连续处处不可微的例子.

问题3：如果是面上的曲线弧，则定义对弧长的曲线积分为：

■f（x，y）ds=■■f（ξ■，η■）Δs■

误差分析：1.（x，y，z）为被积函数时，函数取点近似替代，是在一个体积微元取值，不一定取到曲线上的函数之值，在实数域讨论三元积分是否有意义？

2.Δs=■是用线段长近似替代曲线长，用符号：Δs=Δx+iΔy是否更合理？

数学是一门最能激发学生自由本能、创新意识的学科，复变函数的学习是建立在高等数学学习的基础上的，但它的抽象性和逻辑性远远超过了数学分析和高等数学，许多概念和结论在表述形式上虽高度相似，但二者之间的意义却相去甚远，目前部分院校对教材知识结构安排不合理，缺乏新意，内容剪辑不合理，严重影响教师和学生的使用，对数学的教学极为不利.

参考文献：

[1]颜宝平，陈朝坚.高等数学[M].科学出版社，2013.

[2]张锦豪，邱维元.复变函数论[M].高等教育出版社，2001.

[3]余家荣.复变函数[M].高等教育出版社，2007.

[4]马知恩，王绵森.工科数学分析基础[M].高等教育出版社，2016.

[5]杨泽恒，付卓如.大学复变函数课程与高中数学的衔接[J].大学数学，2013，29（1）：15-17.